Méthodes spectrales

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Si ${\displaystyle g(x,y)}$ est une fonction complexe connue de deux variables réelles, et si g est périodique en x et y (c'est-à-dire ${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$), alors on cherche une fonction ${\displaystyle f(x,y)}$ telle que :

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{pour tout couple}}\;x,y}$

Si l'on écrit f et g sous forme de séries de Fourier :

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)}\\g&=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}\end{aligned}}}$

et que l'on substitue ces expressions dans l'équation différentielle, on obtient l'équation suivante :

${\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}}$

On a ainsi remplacé la dérivation partielle par une somme infinie, ce qui est justifié si l'on suppose, par exemple, que f possède une dérivée seconde continue. D'après le théorème d'unicité de Cantor il faut égaliser les coefficients de Fourier terme à terme :

${\displaystyle a_{j,k}=-{\frac {b_{j,k}}{j^{2}+k^{2}}}}$

On obtient donc explicitement les coefficients de Fourier a_j,k.

Avec des conditions aux limites périodiques, l'équation de Poisson admet une solution uniquement si b_0,0 = 0. On peut donc choisir librement a_0,0, qui sera égal à la moyenne de la solution. Cela correspond au choix de la constante d'intégration.

Cet algorithme s'écrit :

1. Calcul de la transformée de Fourier (b_j,k) de g.
2. Calcul de la transformée de Fourier (a_j,k) de f.
3. Calcul de f par transformée de Fourier inverse de (a_j,k).

Comme nous nous intéressons uniquement à une fenêtre de fréquences finie (de taille n, par exemple), on peut utiliser un algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT). Par conséquent, l'algorithme s'exécute globalement en ${\displaystyle O(n\log n)}$.

Le nombre fini de fréquences utilisées introduit une erreur dont on peut montrer qu'elle est proportionnelle à ${\displaystyle h^{n}}$, où ${\displaystyle h=1/n}$ et ${\displaystyle n}$ est la fréquence la plus élevée contenue dans le développement.

Étant donné une fonction ${\displaystyle u(x,0)}$ définie sur le domaine périodique ${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right]}$, trouver ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$ tel que

${\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall \;x\in \left[0,2\pi \right],\;\forall t>0}$

où ρ est la viscosité cinématique.

Sous forme conservative faible ce problème s'écrit :

${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle ={\Bigl \langle }\partial _{x}\left(-{\tfrac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v{\Bigr \rangle }+\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$

où ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ désigne le produit scalaire.

En intégrant par parties et en utilisant la périodicité il vient :

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\quad \forall t>0}$

On applique la méthode Fourier–Galerkine en choisissant :

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:={\biggl \{}u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}{\biggr \}}}$

et

${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\}}$

où ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$.

Cela revient à trouver ${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$ tel que :

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\quad \forall t>0}$

En utilisant la propriété d'orthogonalité ${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$ où ${\displaystyle \delta _{lk}}$ est symbole de Kronecker, on simplifie les trois termes qui précèdent pour chaque ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }={\biggl \langle }\sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi {\hat {f}}_{k}\\\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}{\Bigr )}-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}{\biggr \rangle }-{\biggl \langle }\rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-{\tfrac {1}{2}}ik{\biggl \langle }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}{\biggr \rangle }-\rho k{\biggl \langle }\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}\end{aligned}}}$

En rassemblant les trois termes pour chaque valeur de k on obtient en divisant par ${\displaystyle 2\pi }$:

${\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\quad \forall t>0}$

Avec des conditions initiales transformées de Fourier ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$ et une contrainte ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$ ce système couplé d'équations différentielles ordinaires peut être intégré temporellement (par exemple, à l'aide d'une méthode de Runge-Kutta). Le terme non linéaire est un produit de convolution^[2],[3].