Nombre carré centré

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième carré centré a un point central et n – 1 couches carrées.
Pour tout entier n ≥ 2, la dernière couche du n-ième carré centré comporte 4(n – 1) points ; c'est le gnomon faisant passer du (n – 1)-ième carré centré au n-ième :

${\displaystyle \forall \ n\geqslant 2,\ C_{4,n}=C_{4,n-1}+4(n-1).}$

Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré égale donc 1 plus 4 fois la somme des entiers de 0 à n – 1 :

${\displaystyle \forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=1+4\sum _{i=0}^{n-1}i=1+2n(n-1)=2n^{2}-2n+1.\qquad \qquad }$(S), (D)

Le quatrième nombre carré centré est :

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{4,4}&={\color {red}1}+{\color {Yellow}4}+{\color {Green}8}+{\color {blue}12}\\&={\color {red}1}+4\left({\color {Yellow}1}+{\color {Green}2}+{\color {blue}3}\right)\\&={\color {red}1}+4\!\times \!6\\&=25.\end{aligned}}}$

Les dix plus petits nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 (voir la suite A001844 de l'OEIS).

• D'après son expression (S) ou (D) plus haut, le n-ième nombre carré centré est égal à 1 plus 4 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire T_n–1 = n(n – 1)/2 (en comptant 0 comme le 0-ième nombre triangulaire) :

${\displaystyle \forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=1+4T_{n-1}.\qquad \qquad }$(T)

Cette égalité peut se représenter par :

• De l'expression (D) plus haut ou (T) ci-dessus, on tire :

${\displaystyle \forall \ n\geqslant 2,\ C_{4,n}=T_{n-2}+2T_{n-1}+T_{n}\$ ;}

pour tout entier n ≥ 2, le n-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs T_n–2, T_n–1, T_n, affectés des coefficients 1, 2, 1.

Le cas C_4,2 = T₀ + 2T₁ + T₂ = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :

• De l'expression (D) plus haut, on tire :

${\displaystyle \forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}\$ ;}

pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre carré centré est^[1] la somme du n-ième et du (n – 1)-ième carrés parfaits (en comptant 0 comme le 0-ième carré parfait).

Exemple d'illustration :

• Si n est impair, on peut donc écrire :

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+4\left({\frac {n-1}{2}}\right)^{2}=n^{2}+4{\big (}1+3+\cdots +(n-2){\big )}.}$

Exemple d'illustration :

• De même, si n est pair :

${\displaystyle C_{4,n}=(n-1)^{2}+4\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}=(n-1)^{2}+4{\big (}1+3+\cdots +(n-1){\big )}.}$

Exemple :

${\displaystyle C_{4,6}={\color {red}5^{2}}+4\!\times \!{\color {blue}3^{2}}={\color {red}5^{2}}+4({\color {blue}1+3+5})=61.}$

• De l'expression (D) plus haut, on tire aussi :

${\displaystyle \forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}={{(2n-1)^{2}+1} \over 2}}$ (trinôme du second degré sous forme canonique).

Donc un entier C est carré centré si et seulement si 2C – 1 est un carré parfait impair.

La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3, et 4 ; la n-ième figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points : à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.^{[réf. souhaitée]}

${\displaystyle {\color {LimeGreen}1^{2}}+{\color {YellowOrange}0^{2}}={\tfrac {1^{2}+1}{2}}=1}$		${\displaystyle {\color {LimeGreen}2^{2}}+{\color {YellowOrange}1^{2}}={\tfrac {3^{2}+1}{2}}=5}$		${\displaystyle {\color {LimeGreen}3^{2}}+{\color {YellowOrange}2^{2}}={\tfrac {5^{2}+1}{2}}=13}$		${\displaystyle {\color {LimeGreen}4^{2}}+{\color {YellowOrange}3^{2}}={\tfrac {7^{2}+1}{2}}=25}$

• Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du n-ième nombre carré centré suit le motif 1-5-3-5-1.

• Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier p de 2n² – 2n + 1, p est impair, et modulo p, puisque (n – 1)² est congru à –n², –1 est un résidu quadratique ; donc modulo 4, p est congru à 1.) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.

1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire. En effet, pour tout entier n ≥ 2,

${\displaystyle T_{2(n-1)}<\ C_{4,n}<\ T_{2(n-1)+1}.}$

La recherche des solutions de l'équation diophantienne ${\displaystyle {\color {lightgray}C_{4,n}=}\ (n-1)^{2}+n^{2}=m^{2}}$ revient à la recherche des triplets pythagoriciens ${\displaystyle (n-1,n,m),}$ c.-à-d. ceux dont les deux plus petits termes sont consécutifs.

Les cinq plus petits nombres à la fois carrés centrés et carrés parfaits sont alors :

C_4,1 = 0² + 1² = 1 = 1² ; C_4,4 = 3² + 4² = 25 = 5² ; C_4,21 = 20² + 21² = 841 = 29² ;

C_4,120 = 119² + 120² = 28 561 = 169² ; C_4,697 = 696² + 697² = 970 225 = 985².

Pour les suivants, voir^{[2],[3],[4],[5]} :

C_4, A046090 =  A001652² +  A046090² =  A008844 =  A001653².

(Pour la suite des nombres carrés, voir  A000290.)

On obtient la solution générale en mettant l'équation (n − 1)² + n² = m² sous la forme :

(2n – 1)² – 2m² = –1,

et en utilisant les solutions de l'équation de Pell-Fermat :

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1.}$