Nombre icosaédrique

On obtient ${\displaystyle I_{n}}$ à partir de la relation : ${\displaystyle I_{n}-I_{n-1}=(S-1)+(A-d)(n-2)+(F-d)(P_{k,n}-k(n-1))}$,

où ${\displaystyle S=12,A=30,F=20}$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'icosaèdre, ${\displaystyle \{k,d\}=\{3,5\}}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} et ${\displaystyle P_{k,n}}$ le nombre k-gonal d'ordre n ^[2].

On obtient donc ${\displaystyle I_{n}-I_{n-1}=(12-1)+(30-5)(n-2)+(20-5)(n(n+1)/2-3(n-1))={\frac {15n^{2}-25n+12}{2}}}$.

D'où ${\displaystyle I_{n}={\frac {1}{2}}\left(15{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-25{\frac {n(n+1)}{2}}+12n\right)={n(5n^{2}-5n+2) \over 2}}$.