Nombre polyédrique centré

On dispose dans un prisme à base ${\displaystyle k}$-gonale ${\displaystyle n}$ couches successives de points k-gonales centrées d'ordre ${\displaystyle n}$.

Le ${\displaystyle n}$-ième nombre ${\displaystyle k}$-prismatique centré ${\displaystyle P_{k,n}}$ est donc le nombre ${\displaystyle k}$-gonal centré ${\displaystyle C_{k,i}}$ multiplié par ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle P_{k,n}={\frac {n}{2}}(kn^{2}-kn+2)}$ ^[1].

• Nombres prismatiques triangulaires centrés : ${\displaystyle P_{3,n}={\frac {n}{2}}(3n^{2}-3n+2)}$, suite A100175 de l'OEIS : 1, 8, 30, 76, 155,...

• Nombres prismatiques carrés centrés : ${\displaystyle P_{4,n}=n(2n^{2}-2n+1)}$, suite A059722 de l'OEIS : 1, 10, 39, 100, 205, ....
• Nombres prismatiques pentagonaux centrés : ${\displaystyle P_{5,n}={\frac {n}{2}}(5n^{2}-5n+2)}$, égaux aux nombres icosaédriques, suite A006564 de l'OEIS :1, 12, 48, 124, 255 ,...

• Nombres prismatiques hexagonaux centrés : ${\displaystyle P_{6,n}=n(3n^{2}-3n+1)}$, égaux aux nombres cubiques augmentés, suite A005915 de l'OEIS : 1, 14, 57, 148, 305, ....
• Nombres prismatiques heptagonaux centrés : ${\displaystyle P_{7,n}={\frac {n}{2}}(7n^{2}-7n+2)}$, suite A329530 de l'OEIS :1, 16, 66, 172, 355, ...
• Nombres prismatiques octogonaux centrés : ${\displaystyle P_{8,n}=n(2n-1)^{2}}$, suite A139757 de l'OEIS : 1, 18, 75, 196, 405, ...

Nous suivons ici la référence^[2] qui prend la convention de prendre ${\displaystyle n=0}$ pour l'étape de départ (il y a donc ${\displaystyle n+1}$ points dans chaque arête à l'étape ${\displaystyle n}$) ; dans cette référence, chaque face du polyèdre étant décomposée en triangles, on décompose le polyèdre en tétraèdres joignant un point central à ces triangles. Chaque tétraèdre est rempli de points à la façon des nombres tétraédriques, les points situés dans deux faces triangulaires contigües devant coïncider.

Si ${\displaystyle C_{n}}$ est le nombre de points dans la couche numérotée ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, le nombre polyédrique centré d'ordre ${\displaystyle n}$ est ${\displaystyle P_{n}=1+C_{1}+\cdots +C_{n}}$ pour ${\displaystyle n\geqslant 1}$ , avec ${\displaystyle P_{0}=1}$^[2].

On a ${\displaystyle C_{n}=2(\alpha n^{2}+1)}$ où ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4}}(F_{3}+2F_{4}+5F_{5}+6F_{6}+14F_{8})}$ , ${\displaystyle F_{k}}$ étant le nombre de faces k-gonales du polyèdre, d'où ${\displaystyle P_{n}=(2n+1){(\alpha n^{2}+\alpha n+3) \over 3}}$^[2].

Nombre polyédrique centré	Nombre de faces	${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$	${\displaystyle P_{0},\cdots ,P_{9}}$	Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré	${\displaystyle F_{3}=4}$	${\displaystyle 2(n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n+1){(n^{2}+n+3) \over 3}}$	1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589	suite A005894 de l'OEIS
Nombre cubique centré	${\displaystyle F_{4}=6}$	${\displaystyle 2(3n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n+1)(n^{2}+n+1)=n^{3}+(n+1)^{3}}$	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729	suite A005898 de l'OEIS
Nombre octaédrique centré	${\displaystyle F_{3}=8}$	${\displaystyle 2(2n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n+1){(2n^{2}+2n+3) \over 3}}$	1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159	suite A001845 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique centré Nombre octaédrique tronqué centré	${\displaystyle {\begin{cases}F_{5}=12\\F_{4}=6,F_{6}=4\end{cases}}}$	${\displaystyle 2(15n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n+1)(5n^{2}+5n+1)}$	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569	suite A005904 de l'OEIS
Nombre icosaédrique centré Nombre cuboctaédrique centré	${\displaystyle {\begin{cases}F_{3}=20\\F_{3}=8,F_{4}=6\end{cases}}}$	${\displaystyle 2(5n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n+1){(5n^{2}+5n+3) \over 3}}$	1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869	suite A005902 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique rhombique centré[3]	${\displaystyle F_{4}=12}$	${\displaystyle 2(6n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n+1)(2n^{2}+2n+1)=(n+1)^{4}-n^{4}}$	1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439, 4641	suite A005917 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique rhombique de l'Abbé Haüy[1]	construction exotique	${\displaystyle 8(6n^{2}-3n+1)}$	${\displaystyle (2n+1)(8n^{2}+2n+1)}$	1, 33, 185, 553, 1233, 2321, 3913, 6105	suite A046142 de l'OEIS
Nombre tétraédrique tronqué centré	${\displaystyle F_{3}=F_{6}=4}$	${\displaystyle 2(7n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n+1){(7n^{2}+7n+3) \over 3}}$	1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975	suite A063494 de l'OEIS
Nombre cubique tronqué centré	${\displaystyle F_{3}=8,F_{8}=6}$	${\displaystyle 2(23n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n+1){(23n^{2}+23n+3) \over 3}}$	1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401

Nous suivons ici la référence^[1], où le nombre de points par arête est égal à ${\displaystyle n}$.

Le polyèdre possède ${\displaystyle F_{k}}$ faces de degré ${\displaystyle k}$, S sommets et A arêtes, la couche polyédrique ajoutée à l'étape ${\displaystyle n+1}$ possède ${\displaystyle \sum _{k\geqslant 3}(P_{k,{n+1}}-kn)}$ points correspondants aux intérieurs des faces (${\displaystyle P_{k,n+1}}$ est le nombre k-gonal avec ${\displaystyle n+1}$ points sur chaque côté), plus ${\displaystyle A(n-1)}$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus S points situés aux sommets. On a donc ${\displaystyle P_{n+1}-P_{n}=\sum _{k\geqslant 3}F_{k}\left({(n+1)~{\big (}(k-2)(n+1)-(k-4){\big )} \over 2}-kn\right)+A(n-1)+S}$, soit ${\displaystyle P_{n+1}-P_{n}={\frac {n-1}{2}}\sum _{k\geqslant 3}F_{k}((k-2)n-2)+A(n-1)+S}$.

Partant de ${\displaystyle P_{1}=1}$, on obtient ${\displaystyle P_{n}=1+\sum _{i=1}^{n-1}(P_{i+1}-P_{i})}$.

Par exemple, ${\displaystyle P_{2}=S+1}$ (un point à chaque sommet et un point au centre).

Pour un polyèdre régulier à S sommets (vérifiant ${\displaystyle kF_{k}=2A,A=F_{k}+S-2}$), on obtient : ${\displaystyle P_{n}={\frac {(2n-1)((S-2)(n^{2}-n)+6)}{6}}}$.

Nombre polyédrique centré	faces, arêtes, sommets, degré d	${\displaystyle P_{n+1}-P_{n}}$	${\displaystyle P_{n}}$	${\displaystyle P_{1},\cdots ,P_{10}}$	Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré	${\displaystyle F_{3}=S=4,A=6,d=3}$	${\displaystyle 2(n^{2}+1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(n^{2}-n+3)}$	1, 5, 15, 35, 69, 121, 195, 295, 425, 589	suite A005894 de l'OEIS
Nombre cubique centré	${\displaystyle F_{4}=6,A=12,S=8,d=3}$	${\displaystyle 2(3n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n-1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+(n-1)^{3}}$	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729	suite A005898 de l'OEIS
Nombre octaédrique centré	${\displaystyle F_{3}=8,A=12,S=6,d=4}$	${\displaystyle 2(2n^{2}+1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(2n^{2}-2n+3)}$	1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159	suite A001845 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique centré	${\displaystyle F_{5}=12,A=30,S=20,d=3}$	${\displaystyle 2(9n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n-1)(3n^{2}-3n+1)}$	1, 21, 95, 259, 549, 1001, 1651, 2535, 3689, 5149 ...	suite A193218 de l'OEIS
Nombre icosaédrique centré	${\displaystyle F_{3}=20,A=30,S=12,d=5}$	${\displaystyle 2(5n^{2}+1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(5n^{2}-5n+3)}$	1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869	suite A005902 de l'OEIS
Nombre tétraédrique tronqué centré	${\displaystyle F_{3}=F_{6}=4,A=18,S=12}$	${\displaystyle 2(7n^{2}+1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(7n^{2}-7n+3)}$	1, 17, 75, 203, 429, 781, 1287, 1975	suite A063494 de l'OEIS
Nombre cubique tronqué centré	${\displaystyle F_{3}=8,F_{8}=6,A=36,S=24}$	${\displaystyle 2(23n^{2}+1)}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}(2n-1)(23n^{2}-23n+3)}$	1, 49, 235, 651, 1389, 2541, 4199, 6455, 9401
Nombre octaédrique tronqué centré	${\displaystyle F_{4}=6,F_{6}=8,A=36,S=24}$	${\displaystyle 2(15n^{2}+1)}$	${\displaystyle (2n-1)(5n^{2}-5n+1)}$	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569	suite A005904 de l'OEIS

On remplace le nombre polygonal non centré par le nombre polygonal centré dans la formule ci-dessus.

Pour un polyèdre régulier ayant A arêtes, on obtient : ${\displaystyle P'_{n}={\frac {(2n-1)(A(n^{2}-n)+6)}{6}}}$.

Par exemple, ${\displaystyle P'_{2}=A+3=F+S+1}$ (un point à chaque sommet, un point au centre de chaque face et un point au centre).

Nombre polyédrique centré à faces centrées	Nombre d'arêtes	${\displaystyle P'_{n}}$	${\displaystyle P'_{1},\cdots ,P'_{10}}$	Rang OEIS
Nombre tétraédrique centré à faces centrées	${\displaystyle A=6}$	${\displaystyle (2n-1)(n^{2}-n+1)=n^{3}+(n+1)^{3}}$	1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729	suite A005898 de l'OEIS
Nombre cubique centré à faces centrées Nombre octaédrique centré à faces centrées	${\displaystyle A=12}$	${\displaystyle (2n-1)(2n^{2}-2n+1)=n^{4}-(n-1)^{4}}$	1, 15, 65, 175, 369, 671, 1105, 1695, 2465, 3439	suite A005917 de l'OEIS
Nombre dodécaédrique centré à faces centrées Nombre icosaédrique centré à faces centrées	${\displaystyle A=30}$	${\displaystyle (2n-1)(5n^{2}-5n+1)}$	1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569	suite A005904 de l'OEIS

• Arithmétique et théorie des nombres