Nombre tétraédrique centré

Si on ajoute à l'étape ${\displaystyle n}$ des faces centrées, il faut remplacer ${\displaystyle 4(P_{3,n}-3(n-1))}$ par ${\displaystyle 4C_{3,n-1}}$ où ${\displaystyle C_{3,n-1}}$ est le nombre triangulaire centré d'ordre ${\displaystyle n-1}$ et l'on obtient ${\displaystyle TC'_{n}-TC'_{n-1}=4\left({\frac {3(n-1)^{2}-3(n-1)+2}{2}}\right)+6(n-2)+4=2(3(n-1)^{2}+1)}$.

Partant de ${\displaystyle TC'_{1}=1}$, on obtient ${\displaystyle TC'_{n}=1+2\sum _{k=2}^{n}(3(k-1)^{2}+1)=(2n-1)(n^{2}-n+1)}$.

Les premiers de ces nombres sont 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, ... (suite A005898 de l'OEIS), qui sont aussi les nombres cubiques centrés (à faces non centrées).

Par exemple, ${\displaystyle TC'_{2}=9}$ car il y a 4 points sur les sommets, 4 au centre de chaque face et 1 au centre du tétraèdre.

Bien que le tétraèdre soit un cas particulier de pyramide, les nombres tétraédriques centrés (dans les deux acceptions ci-dessus) ne sont pas égaux aux nombres pyramidaux triangulaires centrés, comptant des points répartis autour d'un axe et non du centre.

Ces derniers sont les sommes pour ${\displaystyle i}$ allant de 1 à ${\displaystyle n}$ des nombres triangulaires centrés ${\displaystyle C_{3,i}}$, de résultat : ${\displaystyle PC_{3,n}={\frac {1}{2}}n(n^{2}+1)}$.

• Arithmétique et théorie des nombres