複素解析

複素関数とは、自由変数と従属変数がともに複素数の範囲で与えられるような関数である^[1][8]。より正確に言えば複素平面の部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数と呼ばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とに分けて考えることができる。

従って複素関数の成分

${\displaystyle u=u(x,y),}$

${\displaystyle v=v(x,y)}$

は、2つの実変数 x, y についての実数値関数だと考えることができる。複素解析の基本的な概念は、指数関数、対数関数、三角関数などの実関数を複素関数に拡張することにより与えられることが多い。

正則関数とは、複素平面のある領域 D で定義され、定義域の全体で複素微分可能、つまり任意の a ∈ D に対し z の a への近づき方に依らずに極限

${\displaystyle f'(a)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}(a)=\lim _{z\to a}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}}$

が定まる複素関数 f(z) をいう^[1][8]。

複素関数 ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$ が点 ${\displaystyle z=x+iy}$ において複素微分可能であるためには、その点において実部 ${\displaystyle u}$ と虚部 ${\displaystyle v}$ が全微分可能であり、かつ以下のコーシー・リーマンの方程式を満たすことが必要十分である。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

複素関数については複素微分可能であることと解析的であること、つまり

• 任意の a ∈ D に対して複素係数のべき級数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\left(z-a\right)^{n}=c_{0}+c_{1}(z-a)^{1}+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots }$

が定まり、

• a から一定の距離（収束半径）の範囲でこの級数が収束して、
• 収束値が関数値 f(z) に一致すること

が同値である^[13]。そのため、複素解析においては正則関数 (holomorphic function) 、複素微分可能関数 (complex differentiable function) 、解析関数 (analytic function) という用語は同義になる。複素関数が複素微分可能でない点を特異点 (singularity) という。