Nombre octaédrique

O_n peut être obtenu en ajoutant deux nombres pyramidaux carrés consécutifs : ${\displaystyle O_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}k^{2}+\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}+{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

On obtient ici ${\displaystyle O_{n}}$ à partir de la relation : ${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=(S-1)+(A-q)(n-2)+(F-q)(P_{m,n}-m(n-1))}$,

où ${\displaystyle S=6,A=12,F=8}$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'octaèdre, ${\displaystyle \{m,q\}=\{3,4\}}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} , et ${\displaystyle P_{m,n}}$ le nombre m-gonal d'ordre n ^[2].

On obtient donc ${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=(6-1)+(12-4)(n-2)+(8-4)(n(n+1)/2-3(n-1))=2n^{2}-2n+1}$.

D'où ${\displaystyle O_{n}=2{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-2{\frac {n(n+1)}{2}}+n={n(2n^{2}+1) \over 3}}$.