リュカ三次曲線

重心座標とコンウェイの記法を用いて、次の式で表せる。

${\displaystyle S_{A}x(y^{2}-z^{2})+S_{B}y(z^{2}-x^{2})+S_{C}z(x^{2}-y^{2})=0.}$

X(69)は逆補三角形の類似重心である^[5]。垂心の等長共役点で、GK線^[6]（重心と類似重心を結ぶ直線）、ジェルゴンヌ点とナーゲル点を通る直線などの交点である。

重心座標では次の式で与えられる。

${\displaystyle {\Bigl (}b^{2}+c^{2}-a^{2}:c^{2}+a^{2}-b^{2}:a^{2}+b^{2}-c^{2}{\Bigr )}}$

リュカ三次曲線の定義には以下の様なものが知られる^[4]。

• 曲線上の点とその等長共役点がX(69)を通るような曲線。
• チェバ三角形が垂足三角形であるような点の軌跡。その垂足三角形と基準三角形の対垂の中心はダルブー三次曲線（オランダ語版）を描く。ダルブ―三次曲線をリュカ三次曲線と言う場合もある^[1]。
• 17点3次曲線の逆補。
• チェバ円共役点がド・ロンシャン点と共線であるような軌跡（つまりチェバ円共役によって不変）。