Histoire des notations mathématiques

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Bien que l'histoire commence avec celle des écoles ioniennes, il est établi que ces Grecs anciens qui s'y sont intéressés ont largement bénéficié des travaux précédents des Égyptiens et des Phéniciens. La caractéristique de la notation numérique, à savoir des symboles avec des valeurs locales et intrinsèques (arithmétique), implique un état de civilisation au moment de son invention. La connaissance actuelle des niveaux mathématiques de ces peuples anciens, auxquelles cette section est consacrée, est imparfaite et les notes suivantes doivent être considérées comme un résumé des conclusions les plus probables, et l'histoire des mathématiques commence avec les sections symboliques.

De nombreux domaines des mathématiques sont apparus avec l'étude de problèmes réels, avant que les règles et concepts sous-jacents soient identifiés et définis comme structures abstraites (en). Par exemple, la géométrie trouve ses origines dans le calcul de longueurs et d'aires dans le monde réel ; l'algèbre est apparue avec le besoin de résoudre des problèmes en arithmétique.

Il n'y a aucun doute sur le fait que la plupart des peuples qui ont laissé derrière eux des documents maitrisaient la numération et la mécanique, et que quelques-uns maitrisaient également des éléments de l'arpentage. En particulier, les Égyptiens se sont intéressés à la géométrie et aux nombres, et les Phéniciens à l'arithmétique pratique, à la comptabilité, la navigation et l'arpentage.

Les résultats atteints par ses peuples semblent avoir été accessibles, sous certaines conditions, aux voyageurs. Il est probable que le savoir des Égyptiens et des Phéniciens sont le résultat d'observations et de mesure, et représente l'expérience accumulée de plusieurs siècles.

L'écriture des mathématiques a commencé avec des nombres désignés par des marques de dénombrement, chaque encoche représentant une seule unité. Les symboles numériques consistaient probablement en traits ou encoches taillés dans le bois ou la pierre, et compréhensibles de la même manière pour toutes les nations^{[note 2]}. Par exemple, une encoche dans un os représentait un animal, ou une personne, ou n'importe quoi d'autre. Les peuples avec lesquels les Grecs d'Asie Mineure (parmi lesquels commence la notation dans l'histoire occidentale) étaient susceptibles d'être entrés en contact fréquent étaient ceux qui habitaient le littoral oriental de la Méditerranée, et la tradition grecque assignait uniformément le développement spécial de la géométrie aux Égyptiens, et celle de la science des nombres^{[note 3]} soit aux Égyptiens, soit aux Phéniciens.

Les Égyptiens antiques ont une notation symbolique reposant sur la numération par hiéroglyphes^[8],[9]. Les mathématiques égyptiennes ont un symbole pour 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 et 1 000 000. Des chiffres plus petits sont placés à gauche du nombre, car ils sont en chiffres indo-arabes. Plus tard, les Égyptiens utilisent l'écriture hiératique au lieu de hiéroglyphique pour désigner les nombres. Le hiératique est proche de l'écriture cursive et remplace plusieurs groupes de symboles par des symboles individuels. Par exemple, les quatre lignes verticales utilisées pour représenter 4 sont remplacés par une seule ligne horizontale. On peut le voir dans le papyrus Rhind (vers 2000-1800 av. J.-C.) et le papyrus de Moscou (vers 1890 av. J.-C.). Le système utilisé par les Égyptiens a été découvert et modifié par de nombreuses autres civilisations méditerranéennes. Les Égyptiens ont aussi des symboles pour les opérations de base : les jambes qui avancent représentent l'addition et les jambes qui reculent représentent la soustraction.

Les Mésopotamiens avaient des symboles pour chaque puissance de 10. Ils écrivent par la suite leurs nombres d'une façon similaire à la numération décimale moderne : au lieu de symboles pour chaque puissance de 10, il ne donne que le coefficient associé à chacune. Chaque chiffre est séparé seulement par un espace, mais du temps d'Alexandre le Grand, ils avaient déjà un symbole désignant le zéro comme emplacement réservé. Les Mésopotamiens utilisaient également un système sexagésimal, de base 60, qui est encore utilisé de nos jours pour les mesures de temps et d'angles. Les mathématiques babyloniennes sont dérivées de plus de 400 tablettes d'argile découvertes dans des fouilles depuis les années 1850^[10]. Écrites en cunéiforme, ces tablettes étaient marquées alors que l'argile était encore molle, avant d'être durcies à la cuisson au four ou par le soleil. Certaines sont des devoirs notés. La preuve la plus ancienne de mathématiques écrites date des anciens Sumériens et leur système de métrologie de 3000 av. J.-C. À partir d'environ 2500 av. J.-C., les Sumériens écrivent leurs tables de multiplication sur des tablettes d'argile et résolvent des exercices de géométrie et des problèmes de division. Les traces les plus anciennes de nombres babyloniens datent de la même période.

La majorité des tablettes d'argile mésopotamiennes date d'entre 1800 et 1600 av. J.-C., et parlent de sujets comme les fractions, l'algèbre, les équations quadratiques et cubiques, et le calcul de nombres réguliers (en), inverses et premiers jumeaux^[11]. Les tablettes incluent aussi des tables de multiplication et des méthodes de résolution des équations linéaires et quadratiques. La tablette babylonienne YBC 7289 donne une approximation de √2 exacte à 5 décimales. Les mathématiques babyloniennes utilisant un système sexagésimal (en base 60), dont il reste de nos jours l'usage des 60 secondes en une minute, 60 minutes en une heure, et 360 (60 × 6) degrés dans un cercle, ainsi que les minutes et secondes d'arc pour les fractions de degré. Les avancées babyloniennes en mathématiques ont été facilitées par la grande divisibilité de 60 : l'inverse de tout entier qui est un multiple de diviseurs de 60 a un développement fractionnaire fini en base 60 (dans la base 10, seuls les inverses des multiples de 2 et 5 ont des développements décimaux finis). Aussi, contrairement aux Egyptiens, aux Grecs et aux Romains, les Babyloniens avaient un véritable système à notation positionnelle, où les nombres écrits dans les colonnes de gauche représentaient des valeurs plus grandes, comme dans le système décimal. Il leur manquait cependant un séparateur décimal, aussi la valeur désignée devait souvent être déduite du contexte.

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L'histoire des mathématiques ne peut être reliée avec certitude à une école ou période avant celle des Grecs ioniens, mais l'histoire consécutive peut être divisée en périodes, avec des distinctions assez clairement marquées. Les mathématiques grecques, qui ont débuté avec l'étude de la géométrie, ont tendu dès le début à être déductives et scientifiques. Depuis le IV^e siècle, Pythagore est communément reconnu pour avoir découvert le théorème qui porte son nom, un théorème de géométrie qui stipule que dans un triangle rectangle, l'aire du carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés^{[note 4]}.

Les textes mathématiques anciens sont disponibles avec la notation des Égyptiens antiques mentionnée précédemment et avec Plimpton 322 (mathématiques babyloniennes vers 1900 av. J.-C.). L'étude des mathématiques en tant que matière à part entière commence au VI^e siècle av. J.-C. avec les Pythagoriciens, qui inventèrent le terme « mathématiques » du grec ancien μάθημα (máthêma), signifiant « sujet de l'instruction »^[12].

L'influence de Platon a été particulièrement forte en mathématiques et en sciences. Il a contribué à faire la distinction entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées en creusant le fossé entre « l'arithmétique », ce qui désigne la théorie des nombres, et la « logistique », ce qu'on appelle aujourd'hui l'arithmétique. Les mathématiques grecques ont grandement affiné les méthodes (en particulier grâce à l'introduction du raisonnement déductif et de la rigueur mathématique dans la démonstration) et élargi le sujet des mathématiques^[13]. Aristote est crédité de ce qui sera plus tard appelé le principe du tiers exclu.

Les mathématiques abstraites^{[14][réf. à confirmer]} sont ce qui traite de la magnitude^{[note 5]} ou quantité, absolument et généralement conférée, sans égard à aucune espèce de grandeur particulière, telle que l'arithmétique et la géométrie. En ce sens, les mathématiques abstraites s'opposent aux mathématiques appliquées, où les propriétés simples et abstraites, et les relations de quantités originellement considérées en mathématiques, sont appliquées aux objets, et par ce moyen se mêlent à des considérations physiques, comme dans l'hydrostatique, l'optique et la navigation^[14].

Archimède est généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et l'un des plus grands de tous les temps^[15],[16]. Il a utilisé la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous l'arc d'une parabole avec la sommation d'une série infinie, et a donné une approximation remarquablement précise de π^[17]. Il a également défini la spirale portant son nom, des formules pour les volumes de surfaces de révolution et un système ingénieux pour exprimer de très grands nombres.

Dans le développement historique de la géométrie, les étapes de l'abstraction de la géométrie ont été franchies par les Grecs anciens. Les Éléments d'Euclide étant la plus ancienne documentation existante des axiomes de la géométrie plane — bien que Proclus parle d'une axiomatisation antérieure par Hippocrate de Chios^[18]. Les Éléments d'Euclide (vers 300 av. J.-C.) est l'un des plus anciens traités mathématiques grecs existants^{[note 6]} et consiste en treize ouvrages écrits en Alexandrie, réunissant des théorèmes démontrés par d'autres mathématiciens, augmenté de travaux originaux^{[note 7]}.

L'œuvre est une collection réussie de définitions, de postulats (axiomes), de propositions (théorèmes et constructions) et de preuves mathématiques des propositions. Le premier théorème d'Euclide est un lemme qui décrit des propriétés de nombres premiers. Les treize livres influents couvrent la géométrie euclidienne, l'algèbre géométrique et la version grecque ancienne des systèmes algébriques et de la théorie élémentaire des nombres. Il était omniprésent dans le Quadrivium et joue un rôle déterminant dans le développement de la logique, des mathématiques et des sciences.

Diophante d'Alexandrie était l'auteur d'une série de livres appelés Arithmétiques, dont beaucoup sont maintenant perdus. Ces textes traitent de la résolution d'équations algébriques. Boèce a fourni une place aux mathématiques dans le programme d'études au VI^e siècle lorsqu'il a inventé le terme « quadrivium » pour décrire l'étude de l'arithmétique, de la géométrie, de l'astronomie et de la musique. Il a écrit De institutione arithmetica, une traduction libre du grec de l'Introduction à l'arithmétique de Nicomaque ; De institutione musica, également dérivé de sources grecques et une série d'extraits des Éléments d'Euclide. Ses travaux étaient plus théoriques que pratiques et constituaient la base de l'étude mathématique jusqu'à la récupération des travaux mathématiques grecs et arabes^[19],[20].

Les Grecs employaient la numération attique^[21] qui était basée sur le système des Égyptiens et a ensuite été adaptée et utilisée par les Romains. Les chiffres grecs 1 à 4 étaient des lignes verticales, comme dans les hiéroglyphes. Le symbole pour 5 était la lettre grecque Π (pi majuscule), qui est la lettre du mot grec pour cinq, pente. Les nombres 6 à 9 étaient écrits pente avec des lignes verticales à côté. Le nombre 10 était représenté par la lettre Δ (delta) du mot pour dix, deka, 100 par la lettre du mot pour cent, etc.

La numération ionienne utilise tout son alphabet dont trois lettres archaïques. La notation numérique des Grecs, bien que beaucoup moins pratique que celle actuellement en usage, était formée sur un plan parfaitement régulier et scientifique^[22], et pouvait être utilisé avec un effet acceptable comme instrument de calcul, un cas le système romain était totalement inapplicable. Les Grecs divisaient les vingt-quatre lettres de leur alphabet en trois classes, et, en ajoutant un autre symbole à chaque classe, ils avaient des caractères pour représenter les unités, les dizaines et les centaines^[23]

Α (α)	Β (β)	Г (γ)	Δ (δ)	Ε (ε)	Ϝ (ϝ)	Ζ (ζ)	Η (η)	θ (θ)	Ι (ι)	Κ (κ)	Λ (λ)	Μ (μ)	Ν (ν)	Ξ (ξ)	Ο (ο)	Π (π)	Ϟ (ϟ)	Ρ (ρ)	Σ (σ)	Τ (τ)	Υ (υ)	Φ (φ)	Χ (χ)	Ψ (ψ)	Ω (ω)	Ϡ (ϡ)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	500	600	700	800	900

Ce système est apparu au III^e siècle av. J.-C., avant que les lettres digamma (Ϝ), koppa (Ϟ) et sampi (Ϡ) ne deviennent obsolètes. Lorsque les lettres minuscules se sont différenciées des lettres majuscules, les premières ont été utilisées comme symboles de notation. Les multiples de 1000 étaient écrits comme les neuf nombres avec un trait devant eux : ainsi mille était « , α », deux mille était « , β », etc. M (pour μὐριοι, comme dans « myriade ») était utilisé pour multiplier des nombres par dix mille. Par exemple, le nombre 88 888 888 s'écrirait M,ηωπη*ηωπη^[24].

Le raisonnement mathématique grec était presque entièrement géométrique (bien qu'il soit souvent utilisé pour raisonner sur des sujets non directement liés à la géométrie tels que la théorie des nombres), et par conséquent les Grecs n'avaient aucun intérêt pour les symboles algébriques. La grande exception était Diophante d'Alexandrie, le grand algébriste^[25]. Son Arithmetica était l'un des textes à utiliser des symboles dans les équations ; si l'écriture n'était pas complètement symbolique, ce l'était beaucoup plus que les livres précédents. Un nombre inconnu était noté s, son carré était noté ${\displaystyle \Delta ^{y}}$, son cube était ${\displaystyle K^{y}}$, sa quatrième puissance était ${\displaystyle \Delta ^{y}\Delta }$, et la cinquième puissance était ${\displaystyle \Delta K^{y}}$^{[26],[note 8]}

Les Chinois utilisaient des nombres proches du système unaire^[27]. Les nombres 1 à 3 sont représentés par des barres horizontales ; le 4 est symbolisé par un X entre deux traits horizontaux, proche du 10 du système romain. De nos jours, le système huāmǎ n'est utilisé que pour l'affichage des prix dans les marchés chinois ou les reçus manuscrits.

Dans l'histoire chinoise, il y avait ceux qui connaissaient les sciences de l'arithmétique, de la géométrie, de la mécanique, de l'optique, de la navigation et de l'astronomie. Les mathématiques chinoises ont émergé indépendamment au XI^e siècle av. J.-C.^[28]. Il est presque certain que les Chinois connaissaient plusieurs résultats mathématiques ou plutôt architecturaux^{[note 9]}; avec des machines mécaniques^{[note 10]}; qu'ils connaissaient la propriété caractéristique de l'aiguille aimantée ; et savaient que les événements astronomiques se produisaient par cycles. Les Chinois de cette époque avaient tenté de classer ou d'étendre les règles d'arithmétique ou de géométrie qu'ils connaissaient, et d'expliquer les causes des phénomènes qu'ils connaissaient auparavant. Les Chinois ont indépendamment développé des nombres très grands et les nombres négatifs, décimauxs, un système décimal à notation positionnelle, un système binaire, l'algèbre, la géométrie et la trigonométrie.

Les premières contributions des mathématiques chinoises comprennent un système de notation positionnelle^[29],[30]. Le théorème géométrique connu des anciens Chinois était applicable dans certains cas (à savoir le rapport des côtés)^{[note 11]}. C'est que des théorèmes géométriques qui peuvent être démontrés dans la voie quasi-expérimentale de superposition leur étaient également connus. En arithmétique, leurs connaissances semblent s'être limitées à l'art du calcul au moyen du boulier et au pouvoir d'exprimer les résultats par écrit.

La connaissance actuelle des premiers résultats des Chinois, si faible soit-elle, est plus complète que celle de la plupart de leurs contemporains. Il est donc instructif et sert à illustrer le fait que l'on peut savoir qu'une nation peut posséder des compétences considérables dans les arts appliqués, mais que la connaissance des mathématiques ultérieures sur lesquelles ces arts sont fondés peut être limitée. La connaissance des mathématiques chinoises avant 254 av. J.-C. est quelque peu fragmentaire, et même après cette date, les traditions manuscrites sont obscures. Les dates des siècles avant la période classique sont généralement considérées comme conjecturales par les érudits chinois à moins qu'elles ne soient accompagnées de preuves archéologiques vérifiées.

Comme dans d'autres sociétés anciennes, l'accent était mis sur l'astronomie afin de perfectionner le calendrier agricole et d'autres tâches pratiques, et non sur l'établissement de systèmes formels. Les fonctions du Conseil chinois des mathématiques se limitaient à la préparation annuelle d'un almanach, des dates et des prédictions dans lesquelles il était réglementé^{[réf. nécessaire]}. Les anciens mathématiciens chinois n'ont pas développé d'approche axiomatique, mais ont fait des progrès dans le développement d'algorithmes et l'algèbre. La construction de l'algèbre chinoise a atteint son apogée au XIII^e siècle, lorsque Zhu Shijie a inventé la méthode des quatre inconnues.

Du fait d'évidentes barrières linguistiques et géographiques, ainsi que de contenu, les mathématiques chinoises et celles du monde méditerranéen antique sont supposées s'être développées de manière plus ou moins indépendante jusqu'à l'époque où Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique a atteint sa forme définitive, tandis que le Livre sur les nombres et le calcul et le Huainanzi sont à peu près contemporains des mathématiques grecques classiques. Un échange d'idées à travers l'Asie à travers des échanges culturels connus depuis au moins l'époque romaine est probable. Souvent, des éléments de mathématiques des premières sociétés correspondent à des résultats rudimentaires trouvés plus tard dans des branches des mathématiques modernes telles que la géométrie ou la théorie des nombres. Le théorème de Pythagore a par exemple été attesté à l'époque du duc de Zhou. Il a également été démontré que la connaissance du triangle de Pascal existait en Chine des siècles avant Pascal^[31], comme par Shen Kuo.

L'état de la trigonométrie en Chine a lentement commencé à changer et à progresser pendant la dynastie Song (960-1279), où les mathématiciens chinois ont commencé à mettre davantage l'accent sur le besoin de trigonométrie sphérique dans la science calendaire et les calculs astronomiques^[32]. Le polymathe scientifique, mathématicien et fonctionnaire chinois Shen Kuo (1031-1095) a utilisé des fonctions trigonométriques pour résoudre des problèmes mathématiques de cordes et d'arcs^[32]. Sal Restivo écrit que les travaux de Shen sur les longueurs d'arcs de cercles ont servi de base à la trigonométrie sphérique développée au XIII^e siècle par le mathématicien et astronome Guo Shoujing (1231-1316). Comme l'affirment les historiens L. Gauchet et Joseph Needham, Guo Shoujing a utilisé la trigonométrie sphérique dans ses calculs pour améliorer le système de calendrier chinois et l'astronomie chinoise^[32].

La science mathématique des Chinois intégrera le travail et l'enseignement des missionnaires arabes ayant des connaissances de la trigonométrie sphérique qui sont venus en Chine au cours du XIII^e siècle.

Bien que l'origine de notre système actuel de notation numérique soit ancienne, il ne fait aucun doute qu'il était utilisé par les Hindous il y a plus de deux mille ans. La notation algébrique du mathématicien indien, Brahmagupta, était syncopée. L'addition était indiquée en plaçant les nombres côte à côte, la soustraction en plaçant un point sur le terme à soustraire et la division en plaçant le diviseur sous le dividende, de façon similaire à la notation actuelle mais sans la barre. La multiplication, l'évolution et les quantités inconnues étaient représentées par des abréviations de termes appropriés^[33]. Le système de numération indo-arabe et les règles d'utilisation de ses opérations, en usage dans le monde aujourd'hui, ont probablement évolué au cours du premier millénaire av. J.-C. en Inde et ont été transmis à l'ouest via les mathématiques islamiques^[34],[35].

Malgré leur nom, les chiffres arabes trouvent leurs racines en Inde. La raison de ce nom impropre est que les Européens ont vu les chiffres utilisés dans un livre arabe, Traité du système de numération des Indiens, par Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Ce dernier a écrit plusieurs livres importants sur les chiffres indo-arabes et sur les méthodes de résolution des équations. Son livre Traité du système de numération des Indiens, écrit vers 825, ainsi que l'œuvre de Al-Kindi^{[note 12]}, ont joué un rôle déterminant dans la diffusion des mathématiques indiennes et des chiffres indiens en Occident. Al-Khwarizmi n'a pas revendiqué les chiffres comme arabes, mais sur plusieurs traductions latines, le fait que les chiffres étaient d'origine indienne a été perdu. Le mot algorithme est dérivé de la latinisation du nom d'Al-Khwārizmī, Algoritmi, et le mot algèbre du titre d'un de ses ouvrages, Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison).

Les mathématiques arabes ont développé et développé les mathématiques connues des civilisations d'Asie centrale^[36]. Al-Khwārizmī a donné une explication exhaustive de la solution algébrique des équations quadratiques à racines positives^[37], et Al-Khwārizmī devait enseigner l'algèbre sous une forme élémentaire et pour elle-même^[38]. Al-Khwārizmī a également discuté de la méthode fondamentale de « réduction » et d'« équilibrage », se référant à la transposition de termes soustraits de l'autre côté d'une équation, c'est-à-dire l'annulation de termes similaires des deux côtés de l'équation. C'est l'opération qu'al-Khwārizmī décrivait à l'origine comme al-jabr^[39]. Son algèbre ne se préoccupe plus non plus « d'une série de problèmes mathématiques à résoudre, mais d'une exposition qui part de termes primitifs dont les combinaisons doivent donner tous les prototypes possibles pour équations, qui constituent désormais explicitement le véritable objet d'étude. » Al-Khwārizmī a également étudié une équation pour elle-même et « de manière générique, dans la mesure où elle n'émerge pas simplement au cours de la résolution d'un problème, mais est spécifiquement appelée à définir une classe infinie de problèmes^[40] ».

Al-Karaji, dans son traité al-Fakhri, étend la méthode pour incorporer des puissances entières et des racines entières de quantités inconnues^{[note 13],[41]}. L'historien des mathématiques Franz Woepcke^[42], a félicité Al-Karaji d'être « le premier à avoir introduit la théorie du calcul algébrique ». Toujours au X^e siècle, Abu l-Wafa a traduit les œuvres de Diophante en arabe. Ibn al-Haytham développera la géométrie analytique. Al-Haytham a dérivé la formule de la somme des quatrièmes puissances, en utilisant une méthode facilement généralisable pour déterminer la formule générale de la somme de toutes les puissances intégrales. Al-Haytham a effectué une intégration afin de trouver le volume d'un paraboloïde, et a pu généraliser son résultat pour les intégrales de polynômes jusqu'au quatrième degré^{[note 14],[43]}. À la fin du XI^e siècle, Omar Khayyam développera la géométrie algébrique, écrira Discussions of the Difficulties in Euclid^{[note 15]}, et a écrit sur la solution géométrique générale des équations cubiques. Nasir al-Din al-Tusi (Nasireddin) a fait des progrès dans la trigonométrie sphérique. Les mathématiciens musulmans de cette période incluent l'ajout du point décimal aux chiffres arabes.

Les symboles des chiffres arabes modernes utilisés dans le monde sont apparus pour la première fois en Afrique du Nord islamique au X^e siècle. Une variante distincte de l'arabe occidental des chiffres arabes orientaux a commencé à émerger vers le X^e siècle dans le Maghreb et Al-Andalus (parfois appelés chiffres ghubar, bien que le terme ne soit pas toujours accepté), qui est l'ancêtre direct des chiffres arabes modernes utilisés dans le monde entier^[44].

De nombreux textes grecs et arabes sur les mathématiques ont alors été traduits en latin, ce qui a conduit à un développement ultérieur des mathématiques dans l'Europe médiévale. Au XII^e siècle, des érudits se sont rendus en Espagne et en Sicile à la recherche de textes scientifiques arabes, y compris d'al-Khwārizmī^{[note 16]} et le texte complet des Éléments d'Euclide^[45],[46]. L'un des livres européens qui préconisaient l'utilisation des chiffres était Liber abaci, de Léonard de Pise, mieux connu sous le nom de Fibonacci. Liber Abaci est mieux connu pour le problème mathématique que Fibonacci y a écrit à propos d'une population de lapins. La croissance de la population a fini par être une suite de Fibonacci, où un terme est la somme des deux termes précédents.

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Symbole par date d'apparition

La transition vers l'algèbre symbolique, où seuls les symboles sont utilisés, peut d'abord être vue dans les travaux de Ibn al-Banna' al-Marrakushi (1256-1321) et Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1482)^[47],[48]. Al-Qalasādī était le dernier grand algébriste arabe, qui a amélioré la notation algébrique précédemment utilisée dans le Maghreb par Ibn al-Banna^[49]. Contrairement aux notations syncopées de leurs prédécesseurs, Diophante et Brahmagupta, qui manquaient de symboles pour les opérations mathématiques^[50], la notation algébrique d'al-Qalasadi a été la première d'avoir des symboles pour ces fonctions et était donc « les premiers pas vers l'introduction du symbolisme algébrique ». Il a représenté des symboles mathématiques en utilisant des caractères de l'alphabet arabe^[49].

Le XIV^e siècle a vu le développement de nouveaux concepts mathématiques pour étudier un large éventail de problèmes^[51]. Les deux symboles arithmétiques les plus utilisés sont ceux de l'addition (+) et de la soustraction (-). Le signe plus était utilisé vers 1360 par Nicole Oresme^{[52],[note 17]} dans son ouvrage Algorismus proportionum^[53]. On pense qu'il s'agit d'une abréviation du « et » latin, de la même manière que le signe esperluette a également commencé par « et ». Oresme de l'Université de Paris et l'italien Giovanni di Casali ont indépendamment fourni des démonstrations graphiques de la distance parcourue par un corps subissant un mouvement uniformément accéléré, affirmant que l'aire sous la ligne représentant l'accélération constante et représentait la distance totale parcourue. Le signe moins a été utilisé en 1489 par Johannes Widmann dans Mercantile Arithmetic ou Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft^[54]. Widmann a utilisé le symbole moins avec le symbole plus, pour indiquer respectivement le déficit et l'excédent. Dans Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita^{[note 18]}, Luca Pacioli utilisait des symboles pour les signes plus et moins et l'algèbre^{[note 19]}.

Au XV^e siècle, Ghiyath al-Kashi a calculé la valeur de π à la 16^e décimale près. Kashi disposait également d'un algorithme pour calculer les n-ièmes racines^{[note 20]}. En 1533, la table des sinus et cosinus de Regiomontanus fut publiée. Scipione del Ferro et Niccolò Fontana Tartaglia ont découvert des solutions pour les équations cubiques. Gerolamo Cardano les a publiés en 1545 dans son livre Ars Magna, ainsi qu'une solution pour les équations quartiques, découverte par son élève Ludovico Ferrari. Le symbole radical, soit ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$ pour la racine carrée, a été introduit par Christoff Rudolff, le symbole évoquant un r minuscule, pour radix. L'important travail de Michael Stifel Arithmetica integra contenait d'importantes innovations dans la notation mathématique. En 1556, Tartaglia a utilisé des parenthèses pour le groupement de priorité. En 1557, Robert Recorde publie The Whetstone of Witte qui introduit le signe égal (=), ainsi que les signes plus et moins pour le lecteur anglais. En 1564, Gerolamo Cardano analyse les jeux de hasard, posant les bases de la théorie des probabilités. En 1572, Raphaël Bombelli publie L'Algebra dans laquelle il montre comment traiter les quantités imaginaires qui pourraient apparaître dans la formule de Cardano pour résoudre les équations cubiques. Le livre de Simon Stevin De Thiende ("l'art des dixièmes"), publié en néerlandais en 1585, contient un traitement systématique de la notation décimale, qui a influencé tous les travaux ultérieurs sur le système de nombres réels. L'Algèbre nouvelle (1591) de François Viète introduit la manipulation notationnelle moderne des expressions algébriques. Pour la navigation et les cartes précises de vastes zones, la trigonométrie est devenue une branche majeure des mathématiques. Bartholomäus Pitiscus a inventé le mot « trigonométrie », publiant Trigonometria en 1595.

John Napier est surtout connu comme l'inventeur des logarithmes^{[note 21],[55]} et a rendu courant l'utilisation du point décimal en arithmétique et en mathématiques^[56],[57]. Après Napier, Edmund Gunter a créé l'échelle logarithmique sur lesquelles les règles à calcul sont basées, c'est William Oughtred qui utilisait deux de ces règles glissant l'une par l'autre pour effectuer une multiplication et une division directement ; et il est crédité comme l'inventeur de la règle à calcul en 1622. En 1631, Oughtred a introduit le signe de multiplication (×) son signe de proportionnalité, ∷, et les abréviations sin et cos pour les fonctions sinus et cosinus^[58]. Albert Girard a également utilisé les abréviations sin, cos et tan pour les fonctions trigonométriques dans son traité.

Johannes Kepler a été l'un des pionniers des applications mathématiques des infinitésimaux^{[note 22]}. René Descartes est crédité comme le père de la géométrie analytique, le pont entre l'algèbre et la géométrie^{[note 23]}, crucial pour la découverte du calcul infinitésimal et de l'analyse mathématique. Au XVII^e siècle, Descartes a introduit les coordonnées cartésiennes qui ont permis le développement de la géométrie analytique. Bernhard Riemann et Gauss ont généralisé les concepts de géométrie pour développer les géométries non euclidiennes. Blaise Pascal a influencé les mathématiques tout au long de sa vie. Son Traité sur le triangle arithmétique de 1653 décrit une présentation tabulaire pratique des coefficient binomiaux, ce qu'on appelle aujourd'hui le triangle de Pascal. Pierre de Fermat et Blaise Pascal étudieront la probabilité^{[note 24]}. John Wallis a introduit le symbole de l'infini ${\displaystyle {\infty }}$. Il a également utilisé cette notation pour les infinitésimaux^{[note 25]}. En 1657, Christian Huygens publie le traité de probabilité, De ratiociniis in ludo aleae^[59].

Johann Rahn a introduit le signe de division (÷, une variante de l'obélus réutilisée) et le signe par conséquent (∴) en 1659. William Jones a utilisé π dans Synopsis palmariorum mathesios^[60] en 1706 parce que c'est la lettre initiale du mot grec περιμετρον (perímétron), qui signifie périmètre en grec. Cet usage a été popularisé en 1737 par Euler. En 1734, Pierre Bouguer utilise une double barre horizontale sous le signe d'inégalité^[61].

L'étude de l'algèbre linéaire a émergé de l'étude des déterminants, qui ont été utilisés pour résoudre des systèmes linéaires. Le calcul infinitésimal comportait deux principaux systèmes de notation, chacun créé par l'un des créateurs : celui développé par Isaac Newton et la notation développée par Gottfried Leibniz. La notation de Leibniz est la notation la plus utilisée aujourd'hui. Celui de Newton était simplement un point ou un tiret placé au-dessus de la fonction^{[note 26]}. Dans l'usage moderne, cette notation désigne généralement les dérivées de quantités physiques par rapport au temps, et est fréquemment utilisée dans la science de la mécanique. Leibniz, d'autre part, a utilisé la lettre d comme préfixe pour indiquer la différenciation, et a introduit la notation représentant les dérivées comme s'il s'agissait d'un type spécial de fraction^{[note 27]}. Cette notation rend explicite la variable par rapport à laquelle la dérivée de la fonction est prise. Leibniz a également créé la notation de l'intégrale ${\displaystyle \int _{-N}^{N}f(x)\,\mathrm {d} x}$. Le symbole est un S allongé, représentant le mot latin Summa, signifiant « somme ». Lors de la recherche d'aires sous des courbes, l'intégration est souvent illustrée en divisant l'aire en une infinité de rectangles hauts et fins, dont les aires sont ajoutées. Ainsi, le symbole intégral est un s allongé, pour somme.

Les lettres de l'alphabet de nos jours sont utilisées comme symboles de quantité ; et bien qu'il existe une grande diversité quant au choix des lettres, il existe plusieurs conventions établies par la suite^[22]. Ici donc dans l'histoire des équations, les premières lettres de l'alphabet étaient à titre indicatif appelées coefficients, les dernières lettres les inconnues (un incerti ordinis). En géométrie algébrique, encore une fois, une règle similaire doit être observée, les dernières lettres de l'alphabet y désignant les coordonnées variables ou courantes. Certaines lettres, telles que π ou e, ont été par consentement universel appropriées comme symboles des nombres fréquents (en l'occurrence 3,14159..., et 2,7182818....^{[note 28]}), et leur utilisation dans toute autre acception doit être évitée autant que possible^[22]. Les lettres aussi devaient être employées comme symboles d'opération, et avec elles d'autres caractères d'opération arbitraires mentionnés précédemment. Les lettres ${\displaystyle \mathrm {d} }$ et ${\displaystyle \textstyle {\int }}$ doivent être appropriées comme symboles opératoires dans le calcul différentiel et le calcul intégral, ${\displaystyle \Delta }$ et ${\displaystyle \Sigma }$ dans le calcul des différences^[22]. Dans la notation fonctionnelle, une lettre, en tant que symbole d'opération, est combinée avec une autre qui est considérée comme un symbole de quantité^{[22],[note 29]}.

À partir de 1718, Thomas Twinin a utilisé la barre oblique, en la dérivant de la barre de fraction horizontale arabe. Pierre-Simon de Laplace a développé l'opérateur différentiel laplacien^{[note 30]}. En 1750, Gabriel Cramer développe la règle de Cramer pour résoudre les systèmes linéaires.

Leonhard Euler était l'un des mathématiciens les plus prolifiques de l'histoire, et aussi un inventeur prolifique de la notation canonique. Ses contributions incluent son utilisation de e pour représenter la base du logarithme naturel. On ne sait pas exactement pourquoi e a été choisi, mais c'est probablement parce que les quatre premières lettres de l'alphabet étaient déjà couramment utilisées pour représenter des variables et d'autres constantes. Euler a utilisé π pour représenter pi de manière cohérente. L'utilisation de π a été suggérée par William Jones, qui l'a utilisé comme raccourci pour périmètre. Euler a utilisé i pour représenter l'unité imaginaire, à l'époque notée √-1, bien qu'il ait auparavant utilisé i comme un nombre infini^{[réf. nécessaire][note 31],[note 32]}. Pour la sommation, Euler a utilisé le sigma majuscule, ${\displaystyle \Sigma }$^{[note 33]}. Pour les fonctions, Euler a utilisé la notation ${\displaystyle f(x)}$ pour représenter une fonction de ${\displaystyle x}$. En 1730, Euler décrit la fonction gamma^{[note 34]}. En 1736, Euler produit son article sur le problème des sept ponts de Königsberg^[62] initiant l'étude de la théorie des graphes.

Le mathématicien William Emerson développe le signe de proportionnalité ∝^{[63],[64],[65]}. Bien plus tard dans les expressions abstraites de la valeur de divers phénomènes proportionnels, la notation en "parties par" (en) deviendrait utile comme un ensemble de pseudo-unités pour décrire de petites valeurs de diverses quantités sans dimension. Le marquis de Condorcet, en 1768, avança le signe de la dérivée partielle^{[note 35]}. En 1771, Alexandre-Théophile Vandermonde déduit l'importance des traits topologiques lorsqu'il discute de la propriétés des nœuds liée à la géométrie de position. Entre 1772 et 1788, Joseph-Louis Lagrange reformule les formules et les calculs de la mécanique « newtonienne » classique, appelée mécanique lagrangienne. Le symbole prime pour les dérivées a également été créé par Lagrange.

« Mais à notre opinion les vérités de ce genre doivent être tirées des notions plutôt que des notations. »

— Carl Friedrich Gauss^{[note 36]}

Au début du XIX^e siècle, Carl Friedrich Gauss développe le signe d'identité pour la relation de congruence ≡ et, pour la réciprocité quadratique, le symbole partie entière ⌊ ⌋. Gauss contribue aux fonctions d'une variable complexe, en géométrie, et la convergence des séries. Il donne des preuves satisfaisantes du théorème fondamental de l'algèbre et la loi de réciprocité quadratique. Gauss a développé la théorie de la résolution de systèmes linéaires en utilisant l'élimination gaussienne, initialement répertoriée comme une avancée en géodésie^[66]. Il développera également le signe produit. Toujours à cette époque, Niels Henrik Abel et Évariste Galois^{[note 37]} publient leurs travaux sur la racine des équations, reliant la théorie des groupes et celle des corps commutatifs.

Après les années 1800, Christian Kramp promouvra la notation factorielle lors de ses recherches sur la fonction factorielle généralisée qui s'appliquait aux non-entiers^[67]. Joseph Diez Gergonne a introduit les signes d'inclusion^{[note 38]}. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet a développé les séries L de Dirichlet pour donner la preuve du théorème de Dirichlet sur les suites arithmétiques et a commencé la théorie analytique des nombres^{[note 39]}. En 1828, Gauss a prouvé son Theorema egregium (théorème remarquable en latin), établissant la propriété des surfaces. Dans les années 1830, George Green a développé la fonction de Green. En 1829. Charles Gustave Jacob Jacobi publie Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (en) avec ses fonctions thêta elliptiques. En 1841, Karl Weierstrass, le « père de l'analyse » moderne, a élaboré le concept de valeur absolue et de déterminant d'une matrice.

La notation matricielle (en) sera plus amplement développée par Arthur Cayley dans ses trois articles, sur des sujets qui avaient été suggérés par la lecture de l'ouvrage Mécanique analytique de Lagrange^[68] et quelques ouvrages de Laplace. Cayley a défini le produit matriciel et l'inverse d'une matrice. Cayley a utilisé une seule lettre pour désigner une matrice^[69], traitant ainsi une matrice comme un objet agrégé. Il a également réalisé le lien entre les matrices et les déterminants^[70], et écrit « There would be many things to say about this theory of matrices which should, it seems to me, precede the theory of determinants » (« Il y aurait beaucoup de choses à dire sur cette théorie des matrices qui devrait, il me semble, précéder la théorie des déterminants. »)^[71].

« [... The mathematical quaternion] has, or at least involves a reference to, four dimensions. »

— William Rowan Hamilton^{[note 40]}

William Rowan Hamilton introduit le symbole nabla ${\displaystyle \nabla }$ (ou, plus tard appelé del) pour une différentielle vectorielle^[72],[73]. Celui-ci était auparavant utilisé par Hamilton comme un symbole d'opérateur^[74]. Hamilton a réécrit la mécanique newtonienne, maintenant appelée mécanique hamiltonienne. Ce travail s'est avéré central pour l'étude moderne des théories classiques des champs telles que l'électromagnétisme. Cela était également important pour le développement de la mécanique quantique^{[note 41]}. En mathématiques, il est peut-être mieux connu comme l'inventeur de la notation des quaternions^{[note 42]} et des biquaternions. Hamilton a également introduit le mot « tenseur » en 1846^{[75],[note 43]}. James Cockle développe la tessarine^{[note 44]} et, en 1849, les coquaternions. En 1848, James Joseph Sylvester introduit dans l'algèbre matricielle le terme matrice^{[note 45]}.

La réalisation la plus importante de Maxwell a été de formuler un ensemble d'équations qui réunissait des observations, des expériences et des équations auparavant sans rapport avec l'électricité, le magnétisme et l'optique en une théorie cohérente^[76].

En 1864, James Clerk Maxwell a réduit toutes les connaissances alors actuelles sur l'électromagnétisme en un ensemble lié d'équations différentielles avec 20 équations de 20 variables, contenues dans A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (en)^[77]. La méthode de calcul qu'il est nécessaire d'employer a été donnée par Lagrange, et ensuite développée, avec quelques modifications, par les équations de Hamilton. Il est généralement appelé principe de Hamilton ; lorsque les équations sous leur forme originale sont utilisées, elles sont appelées équations de Lagrange. En 1871, Richard Dedekind a appelé un ensemble de nombres réels ou complexes fermé par les quatre opérations arithmétiques un champ. En 1873, Maxwell présente A Treatise on Electricity and Magnetism (en).

En 1878, William Kingdon Clifford a publié Elements of Dynamic (en)^[78]. Clifford a développé les split-biquaternions^{[note 46]}, qu'il a appelé moteurs algébriques. Clifford a évité l'étude des quaternions en séparant le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs de la notation complète des quaternions^{[note 47]}. Cette approche a rendu le calcul vectoriel disponible pour les ingénieurs et autres personnes travaillant en trois dimensions et sceptique de l'effet lead–lag^{[note 48]} dans la quatrième dimension^{[note 49]}. Les notations vectorielles (en) courantes sont utilisées lorsque l'on travaille avec des vecteurs qui sont spatiaux ou plus abstraits membres de espace vectoriels, tandis que la notation d'angle (en) (ou notation phaseur) est une notation utilisée en électronique.

En 1881, Leopold Kronecker a défini ce qu'il a appelé un « domaine de rationalité », qui est une extension de corps de l'ensemble des nombres rationnels en termes modernes^[79]. En 1882, Husseïn Tevfik Pacha a écrit le livre intitulé Linear Algebra^[80]. La théorie atomique de l'éther de Lord Kelvin (années 1860) a conduit Peter Guthrie Tait, en 1885, à publier une table topologique de nœuds avec jusqu'à dix croisements connue sous le nom de conjecture de Tait. En 1893, Heinrich M. Weber donna la définition claire d'un corps abstrait^{[note 50]}. Le calcul tensoriel a été développé par Gregorio Ricci-Curbastro entre 1887 et 1896, présenté en 1892 sous le titre calcul différentiel absolu^[81], et l'usage contemporain de « tenseur » a été énoncé par Woldemar Voigt en 1898^[82]. En 1895, Henri Poincaré publie Analysis Situs^[83]. En 1897, Charles Proteus Steinmetz publiera Théorie et calcul des phénomènes de courant alternatif^[84], avec l'aide d'Ernst J. Berg^[85].

« The above proposition is occasionally useful. »

— Bertrand Russell (commentaire après la preuve de l'égalité 1+1=2, complété dans Principia mathematica, par Alfred North Whitehead et Bertrand Russell. Volume II, 1st edition (1912))

En 1895 Giuseppe Peano publie son Formulario Mathematico^[86], un effort pour résumer les mathématiques dans un texte concis basé sur des symboles spéciaux. Il fournit la définition d'un espace vectoriel et d'une application linéaire. Il introduit également le signe d'intersection (∩), le signe d'union (∪), le signe d'inclusion (est un élément de : ∈) et le quantificateur existentiel (il existe : ∃)^{[note 51]}. Peano transmettra à Bertrand Russell son travail en 1900 lors d'une conférence à Paris ; cela a tellement impressionné Russell que celui-ci aussi a été pris par la volonté de rendre les mathématiques de manière plus concise. Le résultat fut Principia Mathematica écrit avec Alfred North Whitehead. Ce traité marque un tournant dans la littérature moderne où le symbole est devenu dominant. Le cinquième est apparu en 1908 et comprenait 4 200 formules et théorèmes.

Gregorio Ricci-Curbastro et Tullio Levi-Civita ont popularisé la notation tensorielle vers 1900^[87].

Abstraction
Felix Klein Georg Cantor

Au début de cette période, le programme d'Erlangen de Felix Klein a identifié le thème sous-jacent de diverses géométries, définissant chacune d'elles comme l'étude des propriétés invariantes sous un groupe donné de symétries. Ce niveau d'abstraction a révélé des liens entre la géométrie et l'algèbre abstraite. Georg Cantor, inventeur de la théorie des ensembles, introduira le nombre aleph pour les cardinaux d'ensembles transfinis^{[note 52]}. Sa notation pour les nombres cardinaux était la lettre hébraïque ${\displaystyle \aleph }$ (aleph) avec un entier naturel en indice ; pour les ordinaux, il emploie la lettre grecque ω (oméga). Cette notation est encore utilisée aujourd'hui dans la notation ordinale (en) d'une séquence finie de symboles d'un alphabet fini qui nomme un nombre ordinal selon un schéma qui donne un sens à la langue. Sa théorie a provoqué une grande controverse (en). Cantor, dans son étude des séries de Fourier, considère des ensembles de points dans l'espace euclidien.

Après le tournant du XX^e siècle, Josiah Willard Gibbs introduit en chimie physique le point médian pour le produit scalaire et la croix de multiplication pour le produit vectoriel. Il fournira également une notation pour les produits scalaires et vectoriels, qui a été introduite dans Analyse vectorielle. En 1904, Ernst Zermelo promeut l'axiome du choix et sa preuve du théorème du bon ordre^[88]. Bertrand Russell introduira peu après la disjonction logique (OU) en 1906. La même année, Henri Poincaré publiera Sur la dynamique de l’électron^[89] et René Maurice Fréchet introduit l'espace métrique^[90]. Plus tard, Gerhard Kowalewski et Cuthbert Edmund Cullis (en)^{[91],[92],[93]} vont introduire avec succès les notations matricielles, respectivement avec parenthèses et avec crochets. Après 1907, des mathématiciens tels que Max Dehn, J. W. Alexander, étudient les nœuds du point de vue du groupe de nœuds et les invariants par la théorie de l'homologie, comme le polynôme d'Alexander. En 1908, les théorèmes de structure de Joseph Wedderburn ont été formulés pour les algèbres sur un corps de dimension finie. Toujours en 1908, Ernst Zermelo proposa la propriété « définie » et la première théorie axiomatique des ensembles, la théorie des ensembles de Zermelo. En 1910, Ernst Steinitz a publié l'article influent Algebraische Theorie der Körper (Théorie algébrique des corps)^{[note 53]}. En 1911, Steinmetz publiera Theory and Calculation of Transient Electric Phenomena and Oscillations.

Albert Einstein, en 1916, introduit la notation d'Einstein^{[note 54]} qui réduit l'écriture d'une somme sur un ensemble de termes indicés dans une formule. Arnold Sommerfeld crée le signe de l'intégrale de contour en 1917. La même année, Dmitry Mirimanoff propose l'axiome de régularité. In 1919, Theodor Kaluza résout les équations de la relativité générale en utilisant cinq dimensions (en), les résultats faisant émerger les équations électromagnétiques^{[94][réf. à confirmer]}.

Cela sera publié en 1921 dans Zum Unitätsproblem der Physik^[95],[96]. En 1922, Abraham Fraenkel et Thoralf Skolem ont proposé indépendamment de remplacer le schéma d'axiomes de compréhension par le schéma d'axiomes de remplacement. Toujours en 1922, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel a été développée. En 1923, Steinmetz publiera Four Lectures on Relativity and Space^[97]. Vers 1924, Jan Arnoldus Schouten développera la notation et le formalisme moderne pour le cadre du tenseur de Ricci lors des applications du calcul différentiel absolu à la relativité générale et à la géométrie différentielle au début du XX^e siècle^{[note 55],[98],[99],[100]}. En 1925, Enrico Fermi décrit un système régissant plusieurs particules identiques qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli, développant par la suite l'équation de diffusion. En 1926, Oskar Klein développe la théorie de Kaluza–Klein. En 1928, Emil Artin résume la théorie des anneaux avec les anneaux artiniens. En 1933, Andreï Kolmogorov introduit les Axiomes de Kolmogorov. En 1937, Bruno de Finetti déduit sa conception « opérationnelle subjective (en) ».

L'abstraction mathématique a commencé comme un processus d'extraction de l'essence sous-jacente d'un concept mathématique^[101],[102], supprimant toute dépendance vis-à-vis des objets du monde réel avec lesquels il aurait pu être connecté à l'origine^[103], et en le généralisant afin qu'il ait des applications plus larges ou qu'il corresponde à d'autres descriptions abstraites de phénomènes équivalents. Deux domaines abstraits des mathématiques modernes sont la théorie des catégories et la théorie des modèles. Bertrand Russell disait : « Le langage ordinaire est totalement inadapté pour exprimer ce que la physique affirme réellement, puisque les mots de la vie quotidienne ne sont pas suffisamment abstraits. Seules les mathématiques et la logique mathématique peut en dire aussi peu que le physicien veut dire. »^[104]. Cependant, on peut substituer les mathématiques aux objets du monde réel, et errer à travers équation après équation, et peut construire une structure de concept qui n'a aucun rapport avec la réalité^[105].

La logique symbolique étudie les propriétés purement formelles des chaînes de symboles. L'intérêt pour ce domaine provient de deux sources. Premièrement, la notation utilisée dans la logique symbolique peut être considérée comme représentant les mots utilisés dans la logique philosophique. Deuxièmement, les règles de manipulation des symboles trouvées dans la logique symbolique peuvent être implémentées sur un machine informatique. La logique symbolique est généralement divisée en deux sous-domaines, la logique propositionnelle et la logique des prédicats. D'autres logiques intéressantes incluent la logique temporelle, la logique modale et la logique floue. Le domaine de la logique symbolique appelée logique propositionnelle, aussi appelée calcul propositionnel, étudie les propriétés des phrases formées à partir de constantes^{[note 56]} et les opérateurs logiques. Les opérations logiques correspondantes sont respectivement appelées conjonction, disjonction, implication, bicondition (en) et négation. Ces opérateurs sont désignés par mots-clés^{[note 57]} et par notation symbolique.

Certaines des notations logiques mathématiques introduites à cette époque comprennent l'ensemble de symboles utilisés dans l'algèbre booléenne. Cela a été créé par George Boole en 1854. Boole lui-même ne considérait pas la logique comme une branche des mathématiques, mais elle en est venue à être englobée de toute façon. Les symboles trouvés dans l'algèbre booléenne incluent ${\displaystyle \land }$ (ET), ${\displaystyle \lor }$ (OU) et ${\displaystyle \lnot }$ (NON). Avec ces symboles et des lettres pour représenter différentes vérités, on peut faire des déclarations logiques telles que ${\displaystyle a\lor \lnot a=1}$, c'est-à-dire « (a est vrai OU a n'est pas vrai) est vrai », ce qui signifie qu'il est vrai que a est soit vrai soit faux (c'est-à-dire faux). L'algèbre booléenne a de nombreuses utilisations pratiques telles quelles, mais c'était aussi le début de ce qui serait un grand ensemble de symboles à utiliser en logique^{[note 58][réf. à confirmer]}. La logique des prédicats, appelée à l'origine calcul des prédicats, étend la logique propositionnelle par l'introduction de variables^{[note 59]} et par des sentences contenant des variables, ce qu'on appelle des prédicats, habituellement noté par une lettre majuscule suivi d'une liste de variables, comme P(x) or Q(y, z). Ici un prédicat logique mathématique, un concept fondamental en logique du premier ordre.^[pas clair] Les prédicats grammaticaux sont les composants grammaticaux d'une phrase.

De plus, la logique des prédicats permet l'utilisation de symboles spéciaux pour les quantificateurs ∀ (pour tout) et ∃ (il existe). Avec ces symboles logiques et des quantificateurs supplémentaires de la logique des prédicats^{[note 60]}, des preuves valides peuvent être faites qui sont irrationnellement artificielles^{[note 61]}, mais syntaxiquement correctes^{[note 62]}.

« À toute classe récursive ω-cohérente κ de formules correspondent des signes de classe r récursifs, tels que ni v Gen r ni Neg (v Gen r) n'appartient à Flg (κ) (où v est la variable libre de r). »

— Kurt Gödel^[106]

Alors qu'il démontrait ses théorèmes d'incomplétude^{[note 63]}, Kurt Gödel crée une alternative aux symboles normalement utilisés en logique. Il utilise le codage de Gödel, qui attribue des nombres aux opérations avec des ensembles de nombres, et des variables pour les nombres premiers supérieurs à 10. Avec les nombres de Gödel, les déclarations logiques peuvent être réécrites en une suite de nombres. Gödel pousse ensuite la réflexion, en prenant les n premiers nombres premiers et les mettant à la puissance des nombres de la suite. Ces nombres sont alors multiplés ensemble pour obtenir le produit final, associant ainsi à chaque déclaration son propre nombre^[107].

Exemple

Considérons la proposition « Il existe un nombre x tel qu'il n'est pas y ». Par les symboles de l'algèbre propositionnelle, elle devient :

${\displaystyle (\exists x)(x=\lnot y)}$.

Avec les nombres de Gödel, elle devient :

${\displaystyle \{8,4,11,9,8,11,5,1,13,9\}.}$

Il y a dix nombres, donc on prend les dix premiers nombres premiers, soit :

${\displaystyle \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\}.}$

Le nombre de Gödel de la proposition s'obtient en faisant le calcul :

${\displaystyle 2^{8}\times 3^{4}\times 5^{11}\times 7^{9}\times 11^{8}\times 13^{11}\times 17^{5}\times 19^{1}\times 23^{13}\times 29^{9}\approx 3,096262735\times 10^{78}.}$

L'abstraction de la notation est un processus continu et le développement historique de nombreux sujets mathématiques montre une progression du concret à l'abstrait. Diverses notations d'ensembles (en) seraient développées pour les objets fondamentaux « ensembles ». Vers 1924, David Hilbert et Richard Courant publient Methoden der mathematischen Physik (en)^[108]. En 1926, Oskar Klein et Walter Gordon ont proposé l'équation de Klein-Gordon pour décrire les particules relativistes^{[note 64]}. La première formulation d'une théorie quantique décrivant l'interaction rayonnement et matière est due à Paul Adrien Maurice Dirac, qui, en 1920, a été capable pour la première fois de calculer le coefficient d'émission spontanée d'un atome^[109].

En 1928, l'équation relativiste de Dirac a été formulée par Dirac pour expliquer le comportement de l'électron en mouvement relativiste^{[note 65]}. Dirac a décrit la quantification du champ électromagnétique comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques avec l'introduction du concept d'opérateurs de création et d'annihilation (en) de particules. Dans les années suivantes, avec les contributions de Wolfgang Pauli, Eugene Wigner, Pascual Jordan et Werner Heisenberg, et une formulation élégante de l'électrodynamique quantique due à Enrico Fermi^[110], les physiciens en sont venus à croire qu'en principe, il serait possible d'effectuer n'importe quel calcul pour n'importe quel processus physique impliquant des photons et des particules chargées.

En 1931, Alexandru Proca développe l'équation de Proca (équation d'Euler-Lagrange)^{[note 66]} pour la théorie vectorielle des mésons des forces nucléaires et la théorie quantique des champs. John Archibald Wheeler en 1937 développe la matrice S. Des études de Félix Bloch avec Arnold Nordsieck (en)^[111] et Victor Weisskopf^[112], en 1937 et 1939, ont révélé que de tels calculs n'étaient fiables qu'à un premier ordre de théorie des perturbations, un problème déjà signalé par Robert Oppenheimer^[113]. Aux ordres supérieurs de la série, des infinis ont émergé, rendant ces calculs dénués de sens et jetant de sérieux doutes sur la cohérence interne de la théorie elle-même. En l'absence de solution à ce problème connue à l'époque, il est apparu qu'une incompatibilité fondamentale existait entre la relativité restreinte et la mécanique quantique.

Dans les années 1930, le Z majuscule à double frappe (ℤ) pour les ensembles de nombres entiers a été créé par Edmund Landau. Nicolas Bourbaki a créé le Q majuscule à double frappe (ℚ) pour les ensembles de nombres rationnels. En 1935, Gerhard Gentzen fabrique des quantificateurs universels. En 1936, le théorème de non définissabilité est énoncé par Alfred Tarski et prouvé^{[note 67]}. En 1938, Gödel propose l'univers constructible dans l'article The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis^[114]. André Weil et Nicolas Bourbaki mettront au point le signe ensemble vide (∅) en 1939. Cette même année, Nathan Jacobson crée le C majuscule à double frappe (ℂ) pour l'ensemble des nombres complexes.

Dans les années 1930, la notation de Voigt, du nom de Voigt qui l'a développé en 1898, est mise en point pour l'algèbre multilinéaire comme un moyen de représenter un tenseur symétrique en réduisant son ordre. La notation Schoenflies, du nom de Arthur Moritz Schoenflies, est devenue une des deux conventions utilisées pour décrire les groupes ponctuels (l'autre étant la notation de Hermann-Mauguin). À la même période, la notation de van der Waerden^[115],[116] est popularisée pour l'utilisation de spineurs à deux composantes (spineurs de Weyl (en)) en quatre dimensions d'espace-temps. Arend Heyting introduit l'algèbre de Heyting et l'arithmétique de Heyting.

La flèche horizontale → est utilisée pour les fonctions en 1936 par Øystein Ore pour désigner les images d'éléments spécifiques^{[note 68],[note 69]}. Il écrit pour la première fois en 1940 la forme courante de nos jours, soit f : X → Y, à travers le travail de Witold Hurewicz. Werner Heisenberg, en 1941, propose la théorie de la matrice S (en), d'interactions entre particules.

La notation bra-ket (ou notation de Dirac) est une notation standard pour décrire les états quantiques, composé de crochets et de barres verticales. Elle est aussi utilisée pour les vecteurs abstraits et les formes linéaires. Elle est notée ainsi car le produit scalaire (ou produit hermitien dans un espace vectoriel complexe) de deux états est notée ⟨bra|ket⟩, soit ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$, consistant en une partie gauche, ⟨φ|, et une partie droite, |ψ⟩. La notation a été introduite en 1939 par Paul Dirac^[117], même si, 100 ans auparavant, Hermann Grassmann utilisait la notation [φ|ψ] pour le produit scalaire^[118].

La notation bra-ket est répandue en mécanique quantique : presque tous les phénomènes expliqués à l'aide de la mécanique quantique, y compris une grande partie de la physique moderne, sont généralement expliqués à l'aide de la notation bra-ket. La notation établit une indépendance de représentation abstraite codée, produisant une représentation spécifique polyvalente (par exemple, x, ou p, ou une base de fonctions propres) sans trop de contexte, ou un recours excessif à la nature des espaces vectoriels impliqués. L'expression de chevauchement ⟨φ|ψ⟩ est généralement interprétée comme l'amplitude de probabilité pour l'état ψ se réduit en l'état ϕ. La notation de barre oblique de Feynman (en) (notation de barre oblique de Dirac^[119]) est développée par Richard Feynman pour l'étude des champs de Dirac (en) en théorie quantique des champs.

En 1948, Valentine Bargmann et Eugene Wigner proposent les équations de Bargmann-Wigner (en) relativistes (en) pour décrire les particules libres (en) et les équations sont dans la forme de fonctions propres de champs de spineurs à multi-composantes. En 1950, WIlliam Hodge présente The topological invariants of algebraic varieties dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Entre 1954 et 1957, Eugenio Calabi travaille sur la conjecture de Calabi (en) pour les variétés kählériennes et le développement de variétés de Calabi-Yau. En 1957, Tullio Regge formule la propriété mathématique de diffraction potentielle dans l'équation de Schrödinger^{[note 70]} Stanley Mandelstam, avec Regge, fait le développement initial de la théorie de Regge (en) de la phénoménologie d'interaction forte. En 1958, Murray Gell-Mann et Richard Feynman, avec George Sudarshan et Robert Marshak, déduisent les structures chirales de l'interaction faible en physique. Geoffrey Chew, entre autres, promeut la notation matricielle pour l'interaction forte, et le principe bootstrap associé, en 1960. Dans les années 1960, la notation constructeur d'ensemble (en) a été développée pour décrire un ensemble en décrivant les propriétés que ses membres doivent satisfaire. Dans la même période, les tenseurs sont abstraits dans la théorie des catégories aux moyens du concept de la catégorie monoïdale. Plus tard, la notation multi-indicielle élimine des notions conventionnelles utilisées en analyse multivariée, l'étude des équations aux dérivées partielless, et la théorie des distributions, en étendant le concept d'un indice entier à un tuple ordonné d'indices.

Dans les mathématiques modernes de la relativité restreinte, l'électromagnétisme et la théorie des ondes, l'opérateur d'alembertien ${\textstyle \Box }$, aussi appelé d'Alembertien ou opérateur d'onde, est l'opérateur laplacien sur un espace de Minkowski. Le symbole de Levi-Civita (ou symbole de permutation, symbole antisymétrique ou symbole alternant) est utilisé en analyse tensorielle.

Après les formulations complètes de la covariance de Lorentz qui étaient finies à tout ordre dans une série de perturbation d'électrodynamique quantique, Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger et Richard Feynman ont reçu un prix Nobel de physique commun en 1965^[120]. Leurs contributions, et celles de Freeman Dyson, touchent les formulations d'invariance de jauge et covariants de jauge d'électrodynamique quantique qui permettent les calculs d'observables à tout ordre de théorie de la perturbation. La technique mathématique de Feynman, basée sur ses diagrammes, semble de prime abord très différente de l'approche basée sur les opérateurs pour des champs théoriques, de Schwinger et Tomonaga, mais Dyson montre plus tard que les deux approches sont équivalentes. La renormalisation, le besoin d'attacher un sens physique à certaines divergences apparaissant dans la théorie par des intégrales, est devenue par la suite un des aspects fondamentaux de la théorie quantique des champs et est devenue un critère d'acceptabilité générale de la théorie. L'électrodynamique quantique a servi de modèle pour les théories quantiques des champs qui ont suivi. Peter Higgs, Jeffrey Goldstone et autres, Sheldon Glashow, Steven Weinberg et Abdus Salam ont montré indépendamment comment la force nucléaire faible et l'électrodynamique quantique peuvent être réunis en une unique force électrofaible. À la fin des années 1960, le zoo de particules (en) est composé des particules élémentaires connues alors, avant la découverte des quarks.

Une avancée vers le modèle standard a été la découverte de Sheldon Glashow, en 1960, d'un moyen de combiner les interactions électromagnetique et faible^[121]. En 1967, Steven Weinberg^[122] et Abdus Salam^[123] ajoute le mécanisme de Higgs^{[124],[125],[126]} dans la théorie électrofaible de Glashow, lui donnant sa forme moderne. Le mécanisme de Higgs devait accroitre la masse de toutes les particules élémentaires dans le Modèle standard. Il inclut les masses des bosons W et Z, et les masses des fermions - i.e. les quarks et les leptons. De même en 1967, Bryce DeWitt publie son équation sous le nom d'« équation d'Einstein-Schrödinger » (renommée plus tard « équation de Wheeler-DeWitt »)^[127]. En 1969, Yoichiro Nambu, Holger Bech Nielsen et Leonard Susskind décrivent l'espace et le temps en termes de cordes. En 1970, Pierre Ramond développe les supersymétries bidimensionnelles. Michio Kaku et Keiji Kikkawa (en) formuleront plus tard les variations de cordes. En 1972, Michael Artin, Alexandre Grothendieck et Jean-Louis Verdier proposent l'univers de Grothendieck^[128].

Après que les courants neutres faibles (en) causés par l'échange de bosons Z ont été découverts au CERN en 1973^{[129],[130],[131],[132]}, la théorie électrofaible est devenue largement acceptée et Glashow, Salam et Weinberg reçoivent le prix Nobel de physique pour sa découverte. La théorie de l'interaction forte, qui a été le travail de plusieurs contributeurs, acquiert sa forme moderne vers 1973-74. Avec l'établissement de la chromodynamique quantique, un ensemble finalisé de particules fondamentales et d'échange, qui permet l'établissement d'un « modèle standard » basé sur les mathématiques d'une invariance de jauge, qui décrivent avec succès toutes les forces sauf la gravité, et qui reste généralement applicable dans les domaines pour lesquels il a été pensé. À la fin des années 1970, William Thurston introduit la géométrie hyperbolique dans l'étude des nœuds avec le théorème d'hyperbolisation. Le système de notation des orbifolds, inventé par Thurston, a été développé pour représenter les types de groupes de symétrie dans des espaces de dimension 2 à courbure constante. En 1978, Shing-Tung Yau déduit que la conjecture de Calabi (en) a une métrique Ricci-plate (en). En 1979, Daniel Friedan (en) montre que les équations du mouvement de la théorie des cordes sont des abstractions des équations d'Einstein de la relativité générale.

La première révolution des supercordes est composée d'équations mathématiques développées entre 1984 et 1986. En 1984, Vaughan Jones déduit le polynôme de Jones et ses contributions ultérieures de ceux d'Edward Witten, Maxime Kontsevitch et d'autres, qui révèle des liens profonds entre la théorie des nœuds et les méthodes mathématiques en mécanique statistique et la théorie des champs quantiques. Selon la théorie des cordes, toutes les particules du « zoo de particules » ont un ancêtre commun, soit une corde vibrante. En 1985, Philip Candelas, Gary Horowitz^[133] Andrew Strominger et Edward Witten publient Vacuum configurations for superstrings^[134]. Plus tard, le formalisme des tétrades (en) est introduit comme une approche de la relativité générale qui remplace le choix d'une base de coordonnées (en) par un choix moins restrictif d'une base locale pour le fibre tangent (un ensemble localement défini de quatre champs vectoriels linéairement indépendants appelé tétrade^[135]).

Dans les années 1990, Roger Penrose propose une notation graphique (en) (notation de diagramme de tenseur) comme, dans les écritures manuscrites, une représentation visuelle des applications multilinéaires ou tenseurs^[136]. Penrose introduit une notation en indice abstrait^{[note 72]}. En 1995, Edward Witten suggère la théorie M et par conséquent l'utilise pour expliquer certaines dualités observées, initiant la seconde révolution des supercordes^{[note 73]}.

John Conway introduit plusieurs notations, comme la notation des flèches chaînées de Conway, la notation des nœuds de Conway (en), et la notation de Conway des polyèdres. Le système de notation de Coxeter (en) classifie les groupes de symétrie, décrit les angles intérieurs avec les réflexions fondamentales d'un groupe de Coxeter. Elle repose sur une notation entre crochets, avec des modificateurs pour indiquer certains sous-groupes. La notation est nommée après H. S. M. Coxeter et Norman Johnson l'a défini de façon plus compréhensive.

La notation LCF combinatoire, conçue par Joshua Lederberg et étendue par Coxeter et Frucht, a été développée pour la représentation des graphes cubiques hamiltonien^[137],[138]. La notation cyclique est la convention pour écrire une permutation en fonction des cycles qui le constituent^{[139][réf. à confirmer],[140][réf. à confirmer]}. Elle est aussi appelée notation circulaire et la permutation est appelée permutation cyclique ou circulaire^[141].

En 1931, IBM produit le IBM 601 Multiplying Punch ; c'est une machine électromécanique qui peut lire deux nombres, d'au plus long de 8 chiffres, d'une carte perforée et perforer le résultat sur la même carte^[142]. En 1934, Wallace Eckert (en) a utilisé une IBM 601 Multiplying Punch trafiquée pour automatiser la résolution d'équations différentielles^[143]. En 1936, Alan Turing publie On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem^[144], corrigé en 1938^[145]. John von Neumann, pionnier de la programmation et du calcul numérique^{[note 74]} en 1945, écrit First Draft of a Report on the EDVAC (en) (inachevé). En 1962, Kenneth E. Iverson développe une notation de partie intégrale, qui est devenu le langage de programmation APL, pour la manipulation de tableaux qu'il enseigne à ses élèves, et décrit dans son livre A Programming Language^{[note 75]}. En 1970, Edgar F. Codd propose l'algèbre relationnelle comme un modèle relationnel de données pour les langages de requête de bases de données. En 1971, Stephen Cook publie The complexity of theorem proving procedures^[146].. Dans les années 1970 avec l'architecture d'ordinateur, une notation est développée pour la notation des nombres rationnels. Dans la même décennie, la notation Z (comme le langage APL) utilise de nombreux symboles absents du système ASCII, la spécification inclut donc des suggestions pour rendre les symboles de la notation Z en ASCII et en LaTeX. Il y a plusieurs fonctions mathématiques en C (Math.h) et librairies numériques, utilisées en développement de logiciel pour l'exécution de calcul numérique. Ces calculs peuvent être utilisés par des exécutions symboliques (en) , analysant un programme pour déterminer quelles entrées entrainent l'exécution de chaque partie d'un programme. Mathematica et SymPy sont des exemples de logiciels de calcul basés sur le calcul symbolique.