Catégorie monoïdale

Une catégorie monoïdale est une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ munie :

• D'un bifoncteur ${\displaystyle \otimes$ :{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}} appelé produit tensoriel.
• D'un objet I appartenant à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ appelé « objet unité ».
• D'un isomorphisme naturel α appelé « associateur » tel que pour tous objets A, B et C, α_A,B,C soit un isomorphisme de ${\displaystyle (A\otimes B)\otimes C}$ vers ${\displaystyle A\otimes (B\otimes C)}$. Autrement dit, α est un isomorphisme naturel du foncteur ${\displaystyle (-\otimes -)\otimes -}$ vers le foncteur ${\displaystyle -\otimes (-\otimes -)}$.
• De deux isomorphismes naturels λ et ρ induisant, pour tout objet A, des isomorphismes ${\displaystyle \lambda _{A}:I\otimes A\longrightarrow A}$ et ${\displaystyle \rho _{A}:A\otimes I\longrightarrow A}$.

Les conditions de cohérence pour ces transformations naturelles s'expriment par la commutativité des diagrammes suivants, appelés respectivement identité du triangle et identité du pentagone.