経験過程

ある一定の条件のもとで、経験測度P_nが、確率測度へ収束するという結果はよく知られている（Glivenko-Cantelliの定理）。経験過程の理論によって、この収束の速さを説明することができる。 中心化・基準化された経験測度は、

${\displaystyle G_{n}(A)={\sqrt {n}}(P_{n}(A)-P(A))}$

となる。これによる、適当な可測関数fの像は、

${\displaystyle f\mapsto G_{n}f={\sqrt {n}}(P_{n}-P)f={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})-\mathbb {E} f\right)}$

と書くことができる。中心極限定理により、適当な可測集合Aに対して、${\displaystyle G_{n}(A)}$は、正規確率変数N(0, P(A)(1 − P(A)))へ分布収束する。同様に、適当な関数fに対して、${\displaystyle G_{n}f}$は、正規確率変数${\displaystyle N(0,\mathbb {E} (f-\mathbb {E} f)^{2})}$へ分布収束する。

定義

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}(c){\bigr )}_{c\in {\mathcal {C}}}}$ をSの可測な部分集合の族${\displaystyle {\mathcal {C}}}$における経験過程という。

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}f{\bigr )}_{f\in {\mathcal {F}}}}$をSから${\displaystyle \mathbb {R} }$への可測関数の族${\displaystyle {\mathcal {F}}}$における経験過程という。

経験過程に関する有名な結果のひとつに、Donskerの定理がある。この定理は、ある一定のガウス過程へ弱収束する経験過程のクラス（Donskerクラス）についての研究につながった。DonskerクラスはGlivenko-Cantelliクラスになるが、その逆は一般的に正しくない。