Théorème de la pizza
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En géométrie euclidienne, le théorème de la pizza donne une égalité ou une inégalité d'aires lors de la partition d'un disque par des droites concourantes. Il porte ce nom en raison d'une forte analogie avec la technique usuelle de découpage d'une pizza.
Théorème de la pizza — Soient P un point du disque et n un entier naturel. On choisit arbitrairement une droite passant par P puis on effectue des rotations de π/n radians de cette droite autour de P jusqu'à retrouver la droite initiale. On obtient ainsi un découpage équiangulaire du disque en 2n secteurs que l'on numérote en donnant le numéro 1 au secteur qui contient le centre du disque puis en tournant dans le sens positif ou négatif. On note A la somme des aires des parts à numéros impairs et B celle des parts à numéros pairs. Pour ce faire, on suppose que le centre du disque n'est pas sur une ligne de coupe (s'il y est, les aires A et B sont égales).
- Si n ≥ 4 est pair, alors A = B
- Si n = 1, n = 2, ou si n ≡ 3 [4], alors A > B
- Si n ≡ 1 [4], alors A < B
Par exemple, si deux personnes partagent une pizza en huit parts avec quatre droites concourantes, et si l'une prend les parts paires et l'autre les parts impaires, les deux personnes mangeront la même quantité de pizza [1].
Historique
Cas particulier
Le problème trouve son origine dans un défi lancé par L. J. Upton dans Mathematics Magazine en : la question posée est alors simplement de montrer qu'une pizza coupée quatre fois (en huit parts) peut être partagée équitablement entre deux personnes[2]. En 1968, Michael Goldberg publie dans la même revue une solution plus générale : il prouve qu'il est possible de partager la pizza équitablement pour tout nombre pair supérieur à quatre de découpes. À l'aide de calculs algébriques élémentaires, il parvient à trouver l'aire exacte des parts pour résoudre le problème.
En 1994, Carter et Wagon proposent une solution différente qui s'appuie sur la notion de puzzle de dissection : ils donnent une manière de partitionner les secteurs obtenus par la découpe en pièces plus petites, puis d'associer à chaque pièce d'un secteur impair une pièce isométrique d'un secteur pair[3].
Généralisation
Don Coppersmith a montré que quand le nombre de découpes est impair ou égal à deux, il n'y a pas en général égalité des aires[4],[5]. Le problème général posé en 1994[6] est alors de savoir, dans le cas où le nombre de découpes est impair, qui va manger la plus grande part de pizza. Il a été résolu en 2009 par deux chercheurs américains, Rick Mabry et Paul Deiermann, au terme de onze ans de recherches[5].
On considère une pizza coupée un nombre impair de fois, de telle sorte qu'aucune de ces découpes ne passe par le centre. On donne le numéro 1 à la part qui contient le centre puis on numérote les autres parts dans le sens positif ou négatif. On note A la somme des aires des parts à numéros impairs et B celle des numéros pairs et on remarque que la pizza contient un nombre pair de parts. La solution est alors la suivante : si le nombre de découpes est congru à 1 modulo 4, alors A < B, s'il est congru à 3 modulo 4, alors A > B.
Mabry et Deiermann remarquent aussi que si les garnitures de la pizza sont disposées sur des couronnes, alors le théorème se généralise à chaque garniture : puisqu'il est valable pour un disque de diamètre quelconque, il est aussi exact pour toute couronne comprise entre deux cercles. Ceci se traduit par le fait que si les deux personnes mangent autant de pizza, elles mangent autant de chaque garniture ; si l'une hérite d'une part de pizza plus importante, elle obtient aussi une plus grande part de chaque garniture[7].
