ボホナー空間

ボホナー空間は、ポーランド系アメリカ人数学者のサロモン・ボホナーの名にちなむ。

ボホナー空間は、時間依存の偏微分方程式、例えば熱方程式の研究へのアプローチとしての関数解析学において、しばしば用いられる。温度 ${\displaystyle g(t,x)}$ が時間および空間についてのスカラー関数であるとき、${\displaystyle (f(t))(x):=g(t,x)}$ と書くことで、f を時間についての関数とし、f(t) を空間についての関数とすることが、いくつかのボホナー空間においては可能となる。

測度空間 (T, Σ, μ)、バナッハ空間 (X, || · ||_X) および 1 ≤ p ≤ +∞ が与えられたとき、ボホナー空間 L^p(T; X) は、対応するノルムが有限であるような全ての可測関数 u : T → X の空間の（等号はほとんど至る所についてのものであるような）コルモゴロフ商として定義される。すなわち、そのような u に対しては

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ for }}1\leq p<\infty ,}$

${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty }$

が成立する。言い換えると、L^p 空間の研究においてよくあるように、L^p(T; X) は関数の同値類であって、そこでは二つの関数が等しいとは、T の μ-測度ゼロの部分集合を除いた至る所でそれらが等しいことを言う。そのような空間の研究においてよくあるように、それは（より技術的には正しい）同値類と言うよりは、L^p(T; X) の「関数」と言う記号の濫用がよく見受けられる。