強支配戦略均衡

強支配戦略均衡は全プレイヤーの強支配戦略で構成された戦略プロファイルである（⇒ #定義）^[1]。強支配戦略均衡はナッシュ均衡の一種、支配戦略均衡の一種とみなせる均衡点であり、存在すればそのゲームの唯一合理的な選択になり、そこからの逸脱は必ず損失を生む（⇒ #性質）。

以下のように定義される^[1][2]：

ゲーム ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {G}}}$ において全プレイヤーの戦略の組 ${\displaystyle \textstyle s^{*}}$ を構成する全ての戦略 ${\displaystyle \textstyle s_{i}^{*}\ (i\in N)}$ が強支配戦略であるとき、${\displaystyle \textstyle s^{*}}$ は「ゲーム ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {G}}}$ の強支配戦略均衡」である。

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利得行列 ${\displaystyle \textstyle A}$

${\displaystyle s_{2}}$ ​ ${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2,1}}$	${\displaystyle s_{2,2}}$
${\displaystyle s_{1,1}}$	${\displaystyle \textstyle (1,11)}$	${\displaystyle \textstyle (4,14)}$
${\displaystyle s_{1,2}}$	${\displaystyle \textstyle (2,12)}$	${\displaystyle \textstyle (5,15)}$
${\displaystyle s_{1,3}}$	${\displaystyle \textstyle (3,13)}$	${\displaystyle \textstyle (6,16)}$

例として、利得双行列 ${\displaystyle \textstyle A}$ で表現する戦略型非協力二人非零和有限確定ゲームを考える（表参照）。

${\displaystyle \textstyle s_{2},s_{1}}$ をそれぞれ仮定した際のプレイヤー ${\displaystyle \textstyle 1,2}$ の利得を考えると、

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\text{if }}s_{2}=s_{2,1};\quad u_{1}(s_{1,3},s_{2,1})>u_{1}(s_{1,2},s_{2,1})>u_{1}(s_{1,1},s_{2,1}),\\{\text{if }}s_{2}=s_{2,2};\quad u_{1}(s_{1,3},s_{2,2})>u_{1}(s_{1,2},s_{2,2})>u_{1}(s_{1,1},s_{2,2}).\\-------------------------\\{\text{if }}s_{1}=s_{1,1};\quad u_{2}(s_{2,2},s_{1,1})>u_{2}(s_{2,1},s_{1,1}),\\{\text{if }}s_{1}=s_{1,2};\quad u_{2}(s_{2,2},s_{1,2})>u_{2}(s_{2,1},s_{1,2}),\\{\text{if }}s_{1}=s_{1,3};\quad u_{2}(s_{2,2},s_{1,3})>u_{2}(s_{2,1},s_{1,3}).\end{array}}}$

である。よって ${\displaystyle \textstyle s_{1,3}}$ はプレイヤー ${\displaystyle \textstyle 1}$ の強支配戦略であり、 ${\displaystyle \textstyle s_{2,2}}$ はプレイヤー ${\displaystyle \textstyle 2}$ の強支配戦略である。これによりゲーム ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {G}}}$ には強支配戦略均衡が存在し、それは ${\displaystyle \textstyle (s_{1,3},s_{2,2})}$ である。

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ゲームの強支配戦略均衡は高々 1 つ存在する。

各プレイヤーの強支配戦略は高々 1 つ存在する（参考: 強支配戦略#高々1つ存在）^{[注 1]}。よって全プレイヤーがちょうど 1 つの強支配戦略を持つ場合にそれらを組み合わせた 1 通りとしてのみ強支配戦略均衡は存在する。ひとりのプレイヤーだけでも強支配戦略を持たないのであれば強支配戦略均衡は存在しない（= 0 つ存在する）。

ゲームの強支配戦略均衡が存在するとき、合理的なプレイヤーは強支配戦略均衡の戦略を必ず選択する^[3]。

各プレイヤーの強支配戦略が存在するとき、合理的な各プレイヤーは必ずその強支配戦略を選択する（参考: 強支配戦略#唯一合理的な選択）^[4]。強支配戦略均衡が存在するとき全プレイヤーはそれぞれただ 1 つの強支配戦略を持つため、他プレイヤーの選択に依らず全てのプレイヤーが必ずその強支配戦略を選択する。すなわち強支配戦略均衡の戦略を必ず選択する^[3]。

強支配戦略均衡から単独で逸脱すると必ず損失が発生する。

強支配戦略均衡において各プレイヤーは強支配戦略を選択している。他プレイヤーが戦略を変えない前提を置くと、強支配戦略は他戦略より多くの利得をもたらすためそこからの逸脱は唯一の最適解からの逸脱であり、必ず損失が発生する。

強支配戦略均衡は自己拘束的である。

ゲームの強支配戦略均衡が存在するとき、強支配戦略均衡は全プレイヤーにとって唯一合理的な選択である（⇒ #唯一合理的な選択）。これは外的拘束力が無くとも成立している。すなわち、強支配戦略均衡を一度取った合理的なプレイヤーは外的拘束力が無くともそこから逸脱しない。言い換えれば、強支配戦略均衡は自己拘束的である。

また、この自己拘束性は単独逸脱が常に損失を生む（⇒ #単独逸脱による損失）というディスインセンティブによっても説明できる。

強支配戦略均衡はパレート最適を保証しない^[5]。

一般に強支配戦略はパレート最適を保証しない（参考: 強支配戦略#パレート最適の無保証）^[6]。かつ、各プレイヤーは他プレイヤーの選択に依らず強支配戦略を選択し^[7]、結果的に強支配戦略均衡へ至る。よって強支配戦略均衡には全体最適へ導くメカニズムが存在せず、パレート最適は保証されない^[5]。

囚人のジレンマはこの典型例である。利得設計次第だが囚人のジレンマは多くの場合で強支配戦略均衡を持ち、結果としてパレート最適でない解に辿り着く^[8]。

強支配戦略均衡はナッシュ均衡の一種である^[9]。

プレイヤー ${\displaystyle \textstyle i}$ の強支配戦略 ${\displaystyle s_{i}^{*}}$ は ${\displaystyle \textstyle i}$ 以外の戦略の組 ${\displaystyle s_{-i}\in S_{-i}}$ 全てに対する狭義最適反応である（参考: 強支配戦略#全てに対する狭義最適反応）^[7]。よって強支配戦略均衡 ${\displaystyle s^{*}}$ において ${\displaystyle s_{i}^{*}}$ は ${\displaystyle s_{-i}^{*}}$ に対する ${\displaystyle \textstyle i}$ の最適反応である。これが全プレイヤーについて成立する。これはナッシュ均衡の定義そのものである。よって強支配戦略均衡は常にナッシュ均衡である^[9]。

なお、ナッシュ均衡が常に強支配戦略均衡とは限らない^[9]。よって強支配戦略均衡はナッシュ均衡の一種とみなせる^[9]。強支配戦略均衡が自己拘束的であること（⇒ #自己拘束的）はこれと合致する（参考: ナッシュ均衡#自己拘束的）。また単独での逸脱が損失を生むこと（⇒ #単独逸脱による損失）すなわち利得を生まないこともこれと合致する（参考: ナッシュ均衡#単独逸脱による損失）。