ウェルチのt検定

ウェルチのt検定は統計量tを以下の式によって定義する。

${\displaystyle t={{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2} \over {\sqrt {{s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}}}}\,}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$、${\displaystyle s_{i}^{2}}$、${\displaystyle N_{i}}$はそれぞれ${\displaystyle i}$^thの標本平均、不偏分散、サンプルサイズである。スチューデントのt検定とは異なり、分母は推定された合併分散に基づかない。

この推定分散と関連した自由度${\displaystyle \nu }$は、ウェルチ-サタスウェイトの式を用いて近似される。

${\displaystyle \nu \approx {{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \nu _{1}}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \nu _{2}}}}={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \left({N_{1}-1}\right)}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \left({N_{2}-1}\right)}}}\,}$

ここで${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$であり、自由度は${\displaystyle i}$^th推定分散と関連している。この自由度の式は、Welch (1938)^[2] の式(9)に見られる。