ケンドールの順位相関係数

順位データ x = (x₁, …, x_n) と y = (y₁, …, y_n) とのケンドールの順位相関係数 τ は次で定義される^[2]。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &={\frac {K-L}{\binom {n}{2}}}\\K&=\#\left\{\,\{i,j\}\in {\binom {[n]}{2}}\mid x_{i}\lessgtr x_{j},\ y_{i}\lessgtr y_{j}\,\right\}\\L&=\#\left\{\,\{i,j\}\in {\binom {[n]}{2}}\mid \neg (x_{i}\lessgtr x_{j},\ y_{i}\lessgtr y_{j})\,\right\}\end{aligned}}}$

ここで K（または L ）は n 項目から2項目を選んだときに順位関係が一致（または不一致）する組の数である。τ の分母は二項係数である。# は元の個数（濃度）を表す。また ${\displaystyle [n]:=\{1,\dotsc ,n\}}$ であり、集合 X と自然数 k に対して ${\displaystyle {\binom {X}{k}}}$ は X の k 個の元からなる部分集合全体を表す。${\displaystyle \lessgtr }$ は < または > を表し（複号同順）、${\displaystyle \neg }$ は否定を表す。

ケンドールの順位相関係数 τ は以下の特性を持つ。

• 順位が完全に一致している（すなわち L = 0）ならば τ = +1 である。
• 順位が完全に一致していない（すなわち K = 0）ならば τ = −1 である。
• 他のすべての場合には係数の値は−1と+1の間にあり、値の増加は相関の増大を意味する。順位が完全に独立しているなら、係数の値は0である。

• 脇本和昌『身近なデータによる統計解析入門』森北出版、1973年。ISBN 4627090307。http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/1321。 
• Abdi, H. (2007) Kendall rank correlation. In N.J. Salkind (Ed.): Encyclopedia of Measurement and Statistics. Thousand Oaks (CA): Sage. ^[3]
• Kendall, M. (1948) Rank Correlation Methods, Charles Griffin & Company Limited
• Kendall, M. (1938) "A New Measure of Rank Correlation", Biometrika, 30, 81-89.