累積カイ二乗検定

2つの母集団 A, B から抽出して得られる観測値 ${\displaystyle y}$ により母集団の優劣を比較する場合を考える。各観測値は順序のある ${\displaystyle k}$ 個の水準のどれかに分けられるものとしたとき、各観測値を ${\displaystyle y_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,...,k)}$ で表し、${\displaystyle y_{ij}}$ が水準 ${\displaystyle k}$ に入る確率を ${\displaystyle p_{ij}\ (i=1,2\ j=1,2,\ldots ,k)}$とする。この場合の帰無仮説は2つの母集団 A, B の間に差がないということを表すため次の式になる^[2]

${\displaystyle H_{0}:p_{1j}=p_{2j}\ (j=1,2,\ldots ,k)}$

単に帰無仮説を棄却するのであれば対立仮説は次のようになる

${\displaystyle H_{1}:p_{1j}\neq p_{2j}}$

しかしこの対立仮説ではA, B の優劣を表すことができない。そこで各水準間に順序があることを考えて次の対立仮説を想定する^[2]。

${\displaystyle H_{2}:{\begin{cases}(1)\ p_{11}/p_{12}\geq p_{21}/p_{22}\geq \ldots \geq p_{1k}/p_{2k}\\(2)\ p_{11}/p_{12}\leq p_{21}/p_{22}\leq \ldots \leq p_{1k}/p_{2k}\end{cases}}}$• • • • • •${\displaystyle (1)}$または${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle H_{3}:{\begin{cases}(1)\ P_{1j}\geq P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)\\(2)\ P_{1j}\leq P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)\end{cases}}}$• • • • • • •${\displaystyle (1)}$または${\displaystyle (2)}$

ただし${\displaystyle P_{ij}}$は累積確率を表す。

${\displaystyle P_{ij}=\sum _{n=1}^{j}p_{in}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)}$

対立仮説 ${\displaystyle H_{1}}$ は母集団 A が若い水準(優れているまたはその反対)に分類されることが多いことを表す。 対立仮説 ${\displaystyle H_{3}}$ はどの累積確率で比較しても同等以上であることを表す^[2]。

上記の帰無仮説 ${\displaystyle H_{0}}$ は次の ${\displaystyle H_{0j}}$ が同時に成り立つことと同じである。

${\displaystyle H_{0j}:P_{1j}=P_{2j}\quad (j=1,2,\ldots ,k-1)}$

この ${\displaystyle H_{0}}$ についての自由度 1 のカイ二乗値

${\displaystyle {\chi _{j}}^{2}={\frac {2n(Y_{1j}-Y_{2j})^{2}}{Y_{\cdot j}(2n-Y_{\cdot j})}}}$

＊${\displaystyle Y_{ij}=\sum _{n=1}^{j}y_{in}}$

この累積するカイ二乗値を結合して一つの検定統計量

${\displaystyle \chi ^{\ast 2}=\sum _{j=1}^{k-1}{\chi _{j}}^{2}}$

とする^[2]。