方向統計学

あらゆる確率密度関数 ${\displaystyle p(x)}$ は、単位円の円周を「包む」ようにすることができる。 その場合の変数

${\displaystyle \theta =x_{w}=x\mod 2\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]}$

の確率密度関数は

${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$

のようになる。 この考え方は、和を多重和に変えることで、多変数の場合にも拡張することができる。

${\displaystyle p_{w}({\vec {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\vec {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$

ここで、${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$ はユークリッド空間における${\displaystyle k}$番めの基底ベクトルである。