コピュラ (統計学)

n 次元単位立方体 [0, 1]ⁿ から単位区間 [0, 1] への関数 C: [0, 1]ⁿ → [0, 1] が次の性質をもつとき、C を n 次元コピュラ（または n コピュラ）という。

• ${\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}}$ のうち少なくとも 1 つの要素が 0 であるとき、すなわち u = (u₁, ..., u_i-1, 0, u_i+1, ..., u_n); i = 1, 2, ..., n であるとき C(u) = 0

• ${\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}}$ が 1 つの要素を除いてすべて 1 であるとき、すなわち u = (1, ..., 1, u_i, 1, ..., 1); i = 1, 2, ..., n であるとき C(u) = u_i

• C(u) は n-increasing である、すなわち n 次元単位立方体内の任意の直方体 ${\displaystyle B=\times _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}}$ について

${\displaystyle V_{C}\left(B\right)=\Delta _{x_{n}}^{y_{n}}\Delta _{x_{n-1}}^{y_{n-1}}\cdots \Delta _{x_{1}}^{y_{1}}C(\mathbf {t} )\geq 0}$

ここで ${\displaystyle \Delta _{x_{i}}^{y_{i}}C(\mathbf {t} )=C(t_{1},\ldots ,t_{i-1},y_{i},t_{i+1},\ldots ,t_{n})-C(t_{1},\ldots ,t_{i-1},x_{i},t_{i+1},\ldots ,t_{n})}$ である。

スクラーの定理は 1959 年にスクラーが示したもので、コピュラに関する基本的な定理である。定理は次のとおり。

n 次元分布関数 H が1次元周辺分布関数 F₁, F₂, ..., F_n をもつとき、n 次元コピュラ C が存在して以下が成り立つ。

H(x₁, x₂, ..., x_n) = C(F₁(x₁), F₂(x₂), ..., F_n(x_n))

周辺分布関数 F₁, F₂, ..., F_n が連続であるとき、コピュラ C は一意に定まる。

次の式で与えられる M は フレシェ-ヘフディング上界 (Fréchet-Hoeffding upper bound) と呼ばれる。

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{n})=\min _{1\leq j\leq n}u_{j}}$

任意のコピュラ C および任意の ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{n})\in [0,1]^{n}}$ に対して ${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{n})\geq C(u_{1},\ldots ,u_{n})}$ であることから、M はコピュラの中で最大のものである。

次の式で与えられる W は フレシェ-ヘフディング下界 (Fréchet-Hoeffding lower bound) と呼ばれる。

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n})=\max \left\{\sum _{i=1}^{n}{u_{i}}+1-n,0\right\}}$

任意のコピュラ C および任意の ${\displaystyle (u_{1},\ldots ,u_{n})\in [0,1]^{n}}$ に対して ${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{n})\leq C(u_{1},\ldots ,u_{n})}$ が成り立つ。ただし、W は 2 次元以外の場合にはコピュラではない。