無限角形

正多角形は平面上の合同変換に関連付けることができる。原点でない適当な点 A₀ に対して、原点を中心とした ${\textstyle {\tfrac {360}{p}}}$ 度の回転 (p は3以上の整数とする) を繰り返したとき、A₀ の像は離散的な p 個の点の集まり A₀, A₁, ..., A_p－1 となって、さらにそれらの点は正p角形の頂点をなすように存在している。従って、平面上の回転変換、特に p 回対称の回転はそれぞれの正多角形に対応付けられることがわかる。

平面上の合同変換と図形を関連付けるこの考え方は、自然に正多角形の一般化を与える。平面の半回転、鏡映あるいは反転（いずれも2回対称である）は二角形と関連付けられる。また、${\textstyle (360\times {\tfrac {m}{n}})}$度の回転は星形と関連付けられる。これらの例と同様に、平面上の並進、すなわち平面全体の平行移動に関連付けられる図形が無限角形である。^[2]

平面全体の平行移動に対して、平面上の適当な点 A₀ の像は、一直線上に並んだ等間隔な点の並びとなって現れる^{[注 2]}。コクセターの定義によるこの図形を特に正無限角形（apeirogon）という。^{[注 3]}

ユークリッド平面においては3種類しか存在しなかった正多角形の単一なタイル張りは、双曲平面においては無数に存在する (具体的に、任意の整数 p ≧ 3 に対して、双曲正p角形のみで張られるタイル張りが少なくとも1つ存在する^[3])。その極限的なケースとして、シュレーフリ記号 {∞, q} で表されるタイリング（q は各頂点に集まる図形あるいは辺の数を表す）が考えられる。このときそれぞれの図形は双曲平面のホロサイクル（英語: horocycle）に内接した無限個の頂点と辺を持つ図形であり、すなわち無限角形 (apeirogon) である^[4]。

1. ↑ などに見られる
2. ↑ 先の例と同様、ある平行移動を1つ固定し、その反復または逆操作の反復による像を考えているため、点 A₀ の像は離散的かつ等間隔に並ぶこととなる。
3. ↑ 日本語版『正多胞体』ではapeirogonを「正無限角形」と訳している (Coxeter 2022)。

1. ↑ 深谷 2004, p. 110
2. ↑ H.S.M.コクセター 著、一松信 監訳、岡田 好一、日野 雅之、宮崎 興二 訳『正多胞体』丸善出版〈数学クラシックス〉、2022年7月25日、47頁。ASIN B0B874ZZNY。ISBN 9784621307267。 
3. ↑ 深谷 2004, p. 133, 定理 4.34
4. ↑ Coxeter, Harold Scott Macdonald (1999). The beauty of geometry: twelve essays (Unabridged republication ed.). Mineola (N.Y.): Dover publ. p. 201. ISBN 978-0-486-40919-1. LCCN 99-35678 

1. 深谷, 賢治『双曲幾何』岩波書店、2004年9月7日。ISBN 9784000068826。 

• 無限角形 (小説)（英語版） … コラム・マッキャン (Colum McCann) による小説。邦題『無限角形 1001の砂漠の断章』