黄金三角形

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黄金三角形の頂角の大きさは

${\displaystyle \theta ={\pi \over 5}=36^{\circ }.}$

であり、左の長辺を延長することで以下のように求められる。

${\displaystyle \theta =\pi -2\arccos \left({\frac {b}{2a}}\right)=\pi -2\arccos \left({\frac {1}{2\varphi }}\right)=\pi -{\frac {4\pi }{5}}={\frac {\pi }{5}}.}$

よって、黄金三角形は鋭角二等辺三角形であり、残りの2つの角は72度となる。黄金三角形は、3つの角の比が 2:2:1 となる唯一の三角形である。

黄金三角形の頂角から底辺に下ろした垂線の長さhは、短辺の長さbを用いて、

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}b{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

と表されるため、黄金三角形の面積Sは、

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}b^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

と表すことができる^[1]。

黄金三角形の内接円の半径rは、

${\displaystyle r={\frac {2S}{b(1+2\varphi )}}={\frac {1}{2}}b{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$

である^[1]。

前述の通り、黄金三角形の角の比は 2:2:1 である。よって、72度である底角を2等分することで新しい黄金三角形を作ることができ、これを無限回繰り返してできた黄金三角形の頂点をつなぐことによって、対数螺旋を描くことができる^[1][2]。

なお、黄金螺旋とは異なり、黄金螺旋は90度の回転毎に黄金数倍大きくなるが、この対数螺旋は同じ分だけ大きくなるのに108度の回転を要する。すなわち、黄金螺旋は、

${\displaystyle r=\left(\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\right)^{\theta }}$

で表され、この対数螺旋は、

${\displaystyle r=\left(\varphi ^{\frac {5}{3\pi }}\right)^{\theta }}$

で表すことができる^[2]。

後述する黄金グノモンも同様に対数螺旋を描くことができ、

${\displaystyle r=\left(\varphi ^{2{\frac {5}{2\pi }}}\right)^{\theta }}$

で表される^[2]。

非周期タイリングの一つであるペンローズ・タイルには、黄金三角形と黄金グノモン(ロビンソン三角形)が使われる^[3]。

P2型ペンローズ・タイルで使われるカイトという四辺形は二つの黄金三角形からなり、ダーツという四辺形は二つの黄金グノモンからなる。

P3型ペンローズ・タイルで使われる菱形は、細い菱形は二つの黄金三角形からなり、太い菱形は二つの黄金グノモンからなる。なお、いずれの菱形も黄金菱形とは異なるため、注意が必要である。

• 
  カイト(左)とダーツ(右)。
• 
  P3型ペンローズ・タイル。