五十七角形 From Wikipedia, the free encyclopedia 正五十七角形 五十七角形（ごじゅうしちかくけい、ごじゅうしちかっけい、pentacontaheptagon）は、多角形の一つで、57本の辺と57個の頂点を持つ図形である。内角の和は9900°、対角線の本数は1539本である。 正五十七角形においては、中心角と外角は6.315…°で、内角は173.684…°となる。一辺の長さが a の正五十七角形の面積 S は S = 57 4 a 2 cot π 57 ≃ 258.28535 a 2 {\displaystyle S={\frac {57}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{57}}\simeq 258.28535a^{2}} 関係式 以下のように定義すると x 1 = 2 cos 2 π 57 + 2 cos 14 π 57 + 2 cos 16 π 57 x 2 = 2 cos 10 π 57 + 2 cos 44 π 57 + 2 cos 34 π 57 x 3 = 2 cos 50 π 57 + 2 cos 8 π 57 + 2 cos 56 π 57 x 4 = 2 cos 22 π 57 + 2 cos 40 π 57 + 2 cos 52 π 57 x 5 = 2 cos 4 π 57 + 2 cos 28 π 57 + 2 cos 32 π 57 x 6 = 2 cos 20 π 57 + 2 cos 26 π 57 + 2 cos 46 π 57 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{57}}+2\cos {\frac {14\pi }{57}}+2\cos {\frac {16\pi }{57}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {10\pi }{57}}+2\cos {\frac {44\pi }{57}}+2\cos {\frac {34\pi }{57}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {50\pi }{57}}+2\cos {\frac {8\pi }{57}}+2\cos {\frac {56\pi }{57}}\\&x_{4}=2\cos {\frac {22\pi }{57}}+2\cos {\frac {40\pi }{57}}+2\cos {\frac {52\pi }{57}}\\&x_{5}=2\cos {\frac {4\pi }{57}}+2\cos {\frac {28\pi }{57}}+2\cos {\frac {32\pi }{57}}\\&x_{6}=2\cos {\frac {20\pi }{57}}+2\cos {\frac {26\pi }{57}}+2\cos {\frac {46\pi }{57}}\\\end{aligned}}} 以下の関係がある。 x 1 + x 3 + x 5 = 1 + 57 2 = α x 2 + x 4 + x 6 = 1 − 57 2 = β {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}+x_{3}+x_{5}={\frac {1+{\sqrt {57}}}{2}}=\alpha \\&x_{2}+x_{4}+x_{6}={\frac {1-{\sqrt {57}}}{2}}=\beta \\\end{aligned}}} さらに、以下のような関係式が得られる。 ( x 1 + ω ⋅ x 3 + ω 2 ⋅ x 5 ) 3 = − 11 + 3 57 2 + 3 ω ( − 29 − 3 57 2 ) + 3 ω 2 ( 47 + 7 57 2 ) = − 38 − 3 57 − 3 3 ( 38 + 5 57 ) i 2 ( x 1 + ω 2 ⋅ x 3 + ω ⋅ x 5 ) 3 = − 11 + 3 57 2 + 3 ω 2 ( − 29 − 3 57 2 ) + 3 ω ( 47 + 7 57 2 ) = − 38 − 3 57 + 3 3 ( 38 + 5 57 ) i 2 ( x 2 + ω ⋅ x 4 + ω 2 ⋅ x 6 ) 3 = − 11 − 3 57 2 + 3 ω ( − 29 + 3 57 2 ) + 3 ω 2 ( 47 − 7 57 2 ) = − 38 + 3 57 − 3 3 ( 38 − 5 57 ) i 2 ( x 2 + ω 2 ⋅ x 4 + ω ⋅ x 6 ) 3 = − 11 − 3 57 2 + 3 ω 2 ( − 29 + 3 57 2 ) + 3 ω ( 47 − 7 57 2 ) = − 38 + 3 57 + 3 3 ( 38 − 5 57 ) i 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(x_{1}+\omega \cdot x_{3}+\omega ^{2}\cdot x_{5}\right)^{3}=&{\frac {-11+3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega \left({\frac {-29-3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega ^{2}\left({\frac {47+7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38-3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{1}+\omega ^{2}\cdot x_{3}+\omega \cdot x_{5}\right)^{3}=&{\frac {-11+3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega ^{2}\left({\frac {-29-3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega \left({\frac {47+7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38-3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{2}+\omega \cdot x_{4}+\omega ^{2}\cdot x_{6}\right)^{3}=&{\frac {-11-3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega \left({\frac {-29+3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega ^{2}\left({\frac {47-7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38+3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\left(x_{2}+\omega ^{2}\cdot x_{4}+\omega \cdot x_{6}\right)^{3}=&{\frac {-11-3{\sqrt {57}}}{2}}+3\omega ^{2}\left({\frac {-29+3{\sqrt {57}}}{2}}\right)+3\omega \left({\frac {47-7{\sqrt {57}}}{2}}\right)\\=&{\frac {-38+3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}\\\end{aligned}}} 両辺の立方根を取ると x 1 + ω ⋅ x 3 + ω 2 ⋅ x 5 = − 38 − 3 57 − 3 3 ( 38 + 5 57 ) i 2 3 x 1 + ω 2 ⋅ x 3 + ω ⋅ x 5 = − 38 − 3 57 + 3 3 ( 38 + 5 57 ) i 2 3 x 2 + ω ⋅ x 4 + ω 2 ⋅ x 6 = − 38 + 3 57 − 3 3 ( 38 − 5 57 ) i 2 3 x 2 + ω 2 ⋅ x 4 + ω ⋅ x 6 = − 38 + 3 57 + 3 3 ( 38 − 5 57 ) i 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+\omega \cdot x_{3}+\omega ^{2}\cdot x_{5}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38-3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{1}+\omega ^{2}\cdot x_{3}+\omega \cdot x_{5}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38-3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38+5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{2}+\omega \cdot x_{4}+\omega ^{2}\cdot x_{6}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38+3{\sqrt {57}}-3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\x_{2}+\omega ^{2}\cdot x_{4}+\omega \cdot x_{6}=&{\sqrt[{3}]{\frac {-38+3{\sqrt {57}}+3{\sqrt {3}}(38-5{\sqrt {57}})i}{2}}}\\\end{aligned}}} さらに、以下のような関係式が得られる。 ( 2 cos 2 π 57 + ω ⋅ 2 cos 14 π 57 + ω 2 ⋅ 2 cos 16 π 57 ) 3 = 3 x 1 + 2 cos 2 π 19 + 2 cos 16 π 19 + 2 cos 14 π 19 + 6 ( x 5 + 2 ) + 3 ω ( 2 x 1 + x 2 + 2 cos 4 π 19 + 2 cos 6 π 19 + 2 cos 10 π 19 ) + 3 ω 2 ( 2 x 1 + x 6 + 2 cos 4 π 19 + 2 cos 6 π 19 + 2 cos 10 π 19 ) ( 2 cos 2 π 57 + ω 2 ⋅ 2 cos 14 π 57 + ω ⋅ 2 cos 16 π 57 ) 3 = 3 x 1 + 2 cos 2 π 19 + 2 cos 16 π 19 + 2 cos 14 π 19 + 6 ( x 5 + 2 ) + 3 ω 2 ( 2 x 1 + x 2 + 2 cos 4 π 19 + 2 cos 6 π 19 + 2 cos 10 π 19 ) + 3 ω ( 2 x 1 + x 6 + 2 cos 4 π 19 + 2 cos 6 π 19 + 2 cos 10 π 19 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{57}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{57}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{57}}\right)^{3}\\&=3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}+6(x_{5}+2)+3\omega \left(2x_{1}+x_{2}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{6}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{57}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{57}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{57}}\right)^{3}\\&=3x_{1}+2\cos {\frac {2\pi }{19}}+2\cos {\frac {16\pi }{19}}+2\cos {\frac {14\pi }{19}}+6(x_{5}+2)+3\omega ^{2}\left(2x_{1}+x_{2}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)+3\omega \left(2x_{1}+x_{6}+2\cos {\frac {4\pi }{19}}+2\cos {\frac {6\pi }{19}}+2\cos {\frac {10\pi }{19}}\right)\\\end{aligned}}} 両辺の立方根を取り、正十九角形の結果等を代入することより cos ( 2 π / 57 ) {\displaystyle \cos(2\pi /57)} を求めることができる。 正五十七角形の作図 正五十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。 正五十七角形は折紙により作図可能である。 脚注 [脚注の使い方] 関連項目 十九角形 外部リンク ポータル 数学 表話編歴多角形非古典的 (2辺以下) 一角形 二角形 辺の数: 3–10 三角形 正三角形 二等辺三角形 黄金三角形 不等辺三角形 直角三角形 直角二等辺三角形 ケプラー三角形 鋭角三角形 鈍角三角形 四角形 正方形 長方形 黄金長方形 菱形 黄金菱形 平行四辺形 凧形 直角凧形 台形 等脚台形 直角台形 円に外接する台形 双心四角形 円に内接する四角形 円に外接する四角形 等対角線四角形（英語版） 直交対角線四角形 傍接四角形 凹四角形 五角形 正五角形 五等辺五角形（英語版） 円に内接する五角形 ロビンスの五角形（英語版） 円に外接する五角形 直角五角形 五等角五角形 凹五角形 六角形 正六角形 円に内接する六角形 円に外接する六角形 ルモワーヌ六角形 七角形 八角形 九角形 十角形 辺の数: 11–20 十一角形 十二角形 十三角形 十四角形 十五角形 十六角形 十七角形 十八角形 十九角形 二十角形 辺の数: 21–30 二十一角形 二十二角形 二十三角形 二十四角形 二十五角形 二十六角形 二十七角形 二十八角形 二十九角形 三十角形 辺の数: 31–40 三十一角形 三十二角形 三十三角形 三十四角形 三十五角形 三十六角形 三十七角形 三十八角形 三十九角形 四十角形 辺の数: 41–50 四十一角形 四十二角形 四十三角形 四十四角形 四十五角形 四十六角形 四十七角形 四十八角形 四十九角形 五十角形 辺の数: 51–70（抜粋） 五十一角形 五十二角形 五十四角形 五十六角形 五十七角形 六十角形 六十三角形 六十四角形 六十五角形 六十八角形 七十角形 辺の数: 71–100（抜粋） 七十二角形 七十三角形 七十八角形 八十角形 八十一角形 八十四角形 八十五角形 九十角形 九十六角形 九十七角形 百角形 辺の数: 101–（抜粋） 102角形 108角形 109角形 120角形 128角形 144角形 180角形 二百角形 240角形 255角形 256角形 257角形 三百角形 360角形 四百角形 五百角形 六百角形 七百角形（フランス語版） 720角形 八百角形（フランス語版） 九百角形（フランス語版） 千角形 万角形 65,537角形 1,000,000角形 4,294,967,295角形 無限 無限角形 星型多角形（辺の数: 5–12） 五芒星 六芒星 七芒星 八芒星 九芒星 十芒星 十一芒星 十二芒星 多角形のクラス 正多角形 星型正多角形 凸多角形 凹多角形 単純多角形 等辺多角形（英語版） 等角多角形（英語版） 同辺図形（英語版） 同角図形（英語版） 円内接多角形 円外接多角形 非平面多角形（英語版） 非平面無限角形（英語版） 擬三角形（英語版） 擬多角形（中国語版） 一覧 カテゴリ 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