ウォルステンホルム素数

数論におけるウォルステンホルム素数（ウォルステンホルムそすう、英: Wolstenholme prime）とは、強い形のウォルステンホルムの定理（英語版）を満たすような特別な形をした素数のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 p において p−1 までの逆数の和を表す分数の分子は p² を因数にもつことは知られている。この分数の分子が p³ の因数をもつ素数の事である。名称は19世紀にこの定理を初めて記述した数学者ジョセフ・ウォルステンホルム（英語版）にちなむ。

ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つフェルマーの最終定理との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。

既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（オンライン整数列大辞典の数列 A088164）。10⁹ 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない^[1]。

二項係数による定義

ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。

素数 p > 7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という^[2]。

{2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}

ここで左辺は二項係数。

一方ウォルステンホルムの定理によれば、p > 3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。

{2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}

ベルヌーイ数による定義

素数 p は、ベルヌーイ数 B_p−3 の分子を割り切るときウォルステンホルム素数という^[3]^[4]^[5]。よってウォルステンホルム素数は非正則素数の部分集合である。

非正則素数による定義

→詳細は「正則素数」を参照

素数 p は、(p, p–3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数という^[6]^[7]。

調和数による定義

素数 p は、調和数 $H_{p-1}$ を既約分数で表したときの分子が p³ で割り切れるときウォルステンホルム素数という^[8]。

研究とその現状

ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった^[9]。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表された^[10]。

1.2×10⁷ までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数はなく^[11]、この範囲は徐々に広げられた。具体的には2×10⁸以下（McIntosh, 1995年）^[4]、2.5×10⁸以下（Trevisan & Weber, 2001年）^[12]、10⁹以下^[13]、10¹¹以下（Booker et al., 2022年）^[14]。