最小の非可算順序数

任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω₁) および [0,ω₁] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

• [0,ω₁) は点列コンパクトであるがコンパクトではない。任意の距離空間においてその二つは同値であるから、[0,ω₁) は距離化不可能である。
• 可算コンパクトではあるため、 [0,ω₁) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
• [0,ω₁) は第一可算公理を満たすが可分でも第二可算的でもない。
• ω₁ は[0,ω₁) の極限点であるが、 [0,ω₁) 内の可算な点列で ω₁ に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω₁] においてω₁ は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω₁] は第一可算公理を満たさない。
• ω₁ から実数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。即ち、ある${\displaystyle \beta \in \omega _{1}}$と実数${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$が存在して、${\displaystyle \beta <\alpha }$ ならば ${\displaystyle f(\alpha )=c}$となる^[1]。

他にも ω₁ は、長い直線やTychonoff plankといった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。

連続体仮説とは、「連続体濃度と ${\displaystyle \omega _{1}}$ の濃度は等しい」という命題であり、19世紀にゲオルク・カントールによって仮説として提唱された。現在では、ZFCにおいて証明も反証もできないことが分かっている。この仮説との関連で、${\displaystyle \omega _{1}}$ のべき集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}\left(\omega _{1}\right)}$ の構造も研究されている^[2]。