Adjonction ⊗-Hom

Supposons que R et S soient des anneaux (éventuellement non commutatifs) et considérons les catégories des modules à droite sur R et S (une proposition similaire est valable pour les modules à gauche) :

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{et}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}$

Soit ${\displaystyle X}$ un ${\displaystyle (R,S)}$-bimodule et soient ${\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ les foncteurs définis comme suit:

${\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{pour }}Y\in {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{pour }}Z\in {\mathcal {C}}}$

Alors ${\displaystyle F}$ est adjoint à gauche de ${\displaystyle G}$. Cela signifie qu'il existe un isomorphisme naturel

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).}$

Il s'agit en fait d'un isomorphisme de groupes abéliens. Plus précisément, si ${\displaystyle Y}$ est un ${\displaystyle (A,R)}$-bimodule et ${\displaystyle Z}$ est un ${\displaystyle (B,S)}$-bimodule, alors c'est un isomorphisme de ${\displaystyle (B,A)}$-bimodules. C'est un des exemples motivant la structure de bicatégorie fermée^[1].

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Comme toutes les adjonctions, l'adjonction tenseur-hom peut être décrite par les transformations naturelles de counité et d'unité. En utilisant la notation de la section précédente, la counité

${\displaystyle \varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}}$

a pour morphisme la décrivant

${\displaystyle \varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}$

donné par évaluation : Pour

${\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{et}}\quad x\in X,}$

${\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).}$

Les morphismes décrivant l'unité

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to GF}$

${\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

sont définis comme suit : Pour ${\displaystyle y}$ appartenant à ${\displaystyle Y}$ ,

${\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}$

est un homomorphisme de ${\displaystyle S}$-modules défini par

${\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{pour }}t\in X.}$

Les équations de counité et d’unité peuvent désormais être explicitement vérifiées. Pour ${\displaystyle Y}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ,

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}$

${\displaystyle \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.}$

De même,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}$

Pour ${\displaystyle \phi }$ dans ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)}$ ,

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}$

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}$

et donc

${\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .}$