Lemme du serpent

Par le théorème de plongement de Mitchell, il est suffisant de prouver le résultat sur les catégories de modules pour l'étendre à toutes les petites catégories abéliennes. On se contente donc de prouver le résultat pour toute catégorie de modules.

Soit ${\displaystyle x\in \ker c\subset C}$ alors par exactitude de la première ligne, on a un ${\displaystyle y\in B}$ tel que ${\displaystyle g(y)=x}$. Ensuite par commutativité du diagramme, on a ${\displaystyle g'\circ b(y)=c\circ g(y)=0}$ car on choisi ${\displaystyle x}$ dans le noyau de ${\displaystyle c}$. Ainsi, ${\displaystyle b(y)\in \ker g'=\operatorname {Im} f'}$ par exactitude de la seconde ligne. Enfin par injectivité de ${\displaystyle f'}$ (qui découle de l'exactitude de la seconde ligne), on a un unique ${\displaystyle z\in A'}$ tel que ${\displaystyle f'(z)=b(y)}$. Ce ${\displaystyle z}$ est envoyé sur ${\displaystyle [z]\in \operatorname {coker} a}$.

On définit alors le morphisme de bord par ${\displaystyle d(x)=[z]}$.

Il reste à montrer que cette définition ne dépend pas du ${\displaystyle y}$ choisi. Si on prend un autre ${\displaystyle y'}$ qui convient, nommons ${\displaystyle \Delta =y-y'}$ et ${\displaystyle \zeta '}$ la valeur associé à ${\displaystyle \Delta }$ dans ${\displaystyle A'}$. Alors par définition, ${\displaystyle \Delta \in \ker g=\operatorname {Im} f}$ donc il existe un ${\displaystyle \alpha \in A}$ tel que ${\displaystyle f(\alpha )=\Delta }$. Par commutativité, on a ${\displaystyle f'\circ a(\alpha )=b\circ f(\alpha )=b(\Delta )}$. Par injectivité, ${\displaystyle a(\alpha )=\zeta '\in \operatorname {Im} a}$.

Ainsi la différence entre ${\displaystyle z}$, associé à ${\displaystyle y}$, et ${\displaystyle z'}$, associé à ${\displaystyle y'}$, est dans l'image de ${\displaystyle a}$ et donc, au quotient, ${\displaystyle [z]=[z']}$.