Enveloppe de Karoubi

Soit une catégorie C, alors un idempotent de C est un endomorphisme :

${\displaystyle e:A\rightarrow A\,}$

qui vérifie e² = e. Son enveloppe de Karoubi, parfois notée Split(C), est une catégorie dont les objets sont les paires de la forme (A, e) avec e : A → A un idempotent de C, et les morphismes sont les triplets de la forme :

${\displaystyle (e,f,e^{\prime }):(A,e)\rightarrow (A^{\prime },e^{\prime })\,}$

avec f : A → A’ un morphisme de C qui vérifie ${\displaystyle \scriptstyle e^{\prime }\circ f=f=f\circ e}$ ou, de manière équivalente, ${\displaystyle \scriptstyle f=e'\circ f\circ e}$.

La composition dans Split(C) se fait comme dans C, mais le morphisme identité de ${\displaystyle (A,e)}$ sur Split(C) est (e,e,e), au lieu de l'identité de A.

La catégorie C est incluse dans Split(C). De plus, dans Split(C), tout idempotent est scindé : pour tout idempotent f : (A,e) → (A,e), il existe une paire (g : (A,e) → (A’’,e’’), h : (A’’,e’’) → (A,e)) telle que :

${\displaystyle f=h\circ g\,}$ et ${\displaystyle g\circ h=1\,}$.

L'enveloppe de Karoubi d'une catégorie C peut ainsi être considérée comme la « complétion » de C, qui scinde les idempotents.

L'enveloppe de Karoubi d'une catégorie C peut de façon équivalente être définie comme la sous-catégorie pleine de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {C} }}}$ (les préfaisceaux sur C) des rétractée des foncteurs représentables.