Foncteur plein et fidèle

Soient C et D deux catégories et F : C → D un foncteur de C dans D. Pour X et Y des objets de C, le foncteur F induit une fonction

${\displaystyle F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$

Le foncteur F est dit :

• fidèle si pour tout X, Y dans C, F_{X, Y} est injective^[1],[2] ;
• plein si pour tout X, Y dans C, F_{X, Y} est surjective^[1],[2] ;
• pleinement fidèle si pour tout X, Y dans C, F_{X, Y} est bijective.

Un foncteur fidèle n'a pas nécessairement besoin d'être injectif sur les objets ou les morphismes des catégories mises en jeu. Deux objets X et X' peuvent s'envoyer sur le même objet dans D (c'est la raison pour laquelle l'image d'un foncteur pleinement fidèle n'est pas forcément isomorphe à son domaine), et deux morphismes f : X → Y et f' : X' → Y' peuvent s'envoyer sur le même morphisme dans D. De la même manière, un foncteur plein n'est pas forcément surjectif sur les objets ou sur les morphismes. Il peut y avoir des objets de D qui ne sont pas de la forme FX avec X dans C, et des morphismes entre ces objets ne peuvent alors pas être image d'un morphisme de C.

Un foncteur pleinement fidèle est cependant injectif à isomorphisme près sur les objets. C'est-à-dire que si F : C → D est pleinement fidèle et ${\displaystyle F(X)\cong F(Y)}$ alors ${\displaystyle X\cong Y}$.