Catégorie des ensembles pré-ordonnés
From Wikipedia, the free encyclopedia
En mathématiques, la catégorie a les ensembles pré-ordonnés comme objets et les fonctions préservant l'ordre (c'est-à-dire les fonctions croissantes) comme morphismes. Il s'agit d'une catégorie pour la composition usuelle, car la composée de deux fonctions croissantes est elle-même croissante, et l'identité est croissante elle-même.
Les monomorphismes dans sont les fonctions injectives croissantes.
L'ensemble vide (qui est bien un ensemble pré-ordonné) est l'objet initial de , et ses objets finaux sont précisément les singletons pré-ordonnés. Il n'y a donc pas d'objets nuls dans .
Le produit dans est donné par l'ordre produit défini sur le produit cartésien.
Il existe un foncteur d'oubli ( étant la catégorie des ensembles) qui attribue à chaque ensemble pré-ordonné l'ensemble sous-jacent, et à chaque fonction croissante la fonction sous-jacente. Ce foncteur est fidèle, ce qui fait d' une catégorie concrète. Ce foncteur a un adjoint gauche (envoyant chaque ensemble à lui-même muni de la relation d'égalité) et un adjoint droit (envoyant chaque ensemble lui-même équipé de la relation totale).
