Conjecture de Firoozbakht

En théorie des nombres, la conjecture de Firoozbakht^{[1],[2],[3],[4]} est une conjecture relative à la distribution des nombres premiers, proposée en 1982 par la mathématicienne iranienne Farideh Firoozbakht, de l'université d'Ispahan^[5].

La conjecture énonce que la suite ${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$ (où ${\displaystyle p_{n}}$ est le n-ième nombre premier) est strictement décroissante, soit encore :

${\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}{\text{ pour tout }}n\geq 1.}$

La conjecture implique que

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}<(\ln p_{n})^{2}-\ln p_{n}-1{\text{ pour tout }}n>9.}$^[6]

La conjecture de Firoozbakht est vérifiée pour tout

${\displaystyle p_{n}<4\times 10^{18}.}$^[7]