Nombre premier délicat

On dit qu'un nombre premier ${\displaystyle p}$ est un nombre premier délicat, si son écriture décimale à ${\displaystyle k}$ chiffres ${\displaystyle p=a_{k-1}a_{k-2}\dots a_{1}a_{0}}$ est telle que tout remplacement d'une décimale ${\displaystyle a_{i}}$ (avec ${\displaystyle i\in [0;k-1]}$) a pour résultat un nombre composé. Comme il existe ${\displaystyle (10-1)\times k=9k}$ remplacements possibles^[b], identifier un nombre premier délicat nécessite de prouver la non-primalité de beaucoup de nombres ; la délicatesse d'un nombre à 11 chiffres nécessite donc d'établir que les ${\displaystyle 9\times 11=99}$ nombres à 11 chiffres correspondants sont des nombres composés.

En base dix, le plus petit nombre premier délicat est 294 001^[1],[3]. Cela signifie que 294 001 est premier mais que, par exemple, 274 001^[c], 294 005^[d], 294 031^[e], 294 101^[f], 296 001^[g] ou encore 394 001^[h] sont composés^[i].

Il est possible d'étudier la délicatesse dans d'autres bases que la base dix, par exemple dans les bases 2 à 9. Le plus petit nombre premier délicat dans chacune d'elles est ^[1],[3] :

En numération décimale, les premiers nombres premiers délicats sont :

294 001, 505 447, 584 141, 604 171, 971 767, 1 062 599, 1 282 529, 1 524 181, 2 017 963, 2 474 431^[4].

En 2007, il a été établi que le nombre à mille chiffres ${\displaystyle (17\times 10^{1000}-17)/99+21686652}$ est délicat^[5].