Nombre de Woodall

Comme les nombres de Cullen, les nombres de Woodall ont beaucoup de propriétés de divisibilité. Par exemple, si p est un nombre premier, alors p divise

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{\frac {p+1}{2}}}$ si le symbole de Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ est +1 et

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{\frac {3p-1}{2}}}$ si le symbole de Jacobi ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ est −1^[1].

Hiromi Suyama a démontré que presque tous les nombres de Woodall sont composés^[2].

On conjecture cependant qu'il existe une infinité de nombres de Woodall premiers^[1].

Les premiers sont 7, 23, 383, 32 212 254 719, etc. (suite A050918 de l'OEIS) et les indices n correspondants sont 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, etc. (suite  A002234).

Au 26 décembre 2007, le plus grand nombre de Woodall premier connu est 3 752 948 × 2^{3 752 948} − 1^[3]. Ce nombre de 1 129 757 chiffres a été découvert par l'américain Matthew J. Thompson du projet de calcul distribué PrimeGrid.