Nombre premier de Ramanujan

En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration^[1] du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :

${\displaystyle \forall n,\ \exists N,\ x\geq N\Rightarrow \pi (x)-\pi (x/2)\geq n}$ ;

en particulier :

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq 1,2,3,4,5,\dots ~}$ pour tout x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... (suite A104272 de l'OEIS) respectivement,

où ${\displaystyle \pi (x)}$ est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres 2, 11, 17, 29, 41 sont les plus petits entiers conformes à cette définition. Autrement dit :

Le n-ième premier de Ramanujan est l'entier R_n le plus petit à satisfaire la condition :

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)\geq n,~}$ pour tout x ≥ R_n^[2].

Une autre façon de formuler ce résultat est :

Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers R_n les plus petits à garantir qu'il y a (au moins) n premiers dans ]x/2, x] pour tout x ≥ R_n.

Puisque R_n est le plus petit entier conforme à ces conditions, il doit être premier. En effet :

Pour tout entier m fixé, pour tout ${\displaystyle x\in [m,m+1[,~}$ ]x/2, x] contient les mêmes entiers ; donc ${\displaystyle \pi (R_{n}-1)-\pi {\big (}(R_{n}-1)/2{\big )}<n.~}$ Or ${\displaystyle \ \pi (R_{n})-\pi (R_{n}/2)\geq n,}$ donc ${\displaystyle ]R_{n}/2,R_{n}]}$ doit contenir plus de premiers que ${\displaystyle ](R_{n}-1)/2,R_{n}-1].}$ Mais il ne peut en contenir qu'un de plus : ce ne peut être que R_n.

Conséquence : ${\displaystyle \ \pi (R_{n})-\pi (R_{n}/2)=n.}$

Par exemple, le nombre de nombres premiers dans ]6,5 ; 13] est trois (ce sont 7, 11, 13). Mais 13 n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car dans ]8 ; 16], il n'y a que deux nombres premiers (ce sont 11, 13). Ce n'est qu'à partir de 17 qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers dans ]x/2, x], donc R₃ = 17.

Les plus petits termes de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont :

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, ... (suite A104272 de l'OEIS).