Nombre de Kynea

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En mathématiques récréatives, le $n$ -ième nombre de Kynea (où $n$ est un entier naturel) est l'entier

(2^{n}+1)^{2}-2.

Les nombres de Kynea furent étudiés par Cletus Emmanuel, qui les baptisa du prénom d'une petite fille^[1].

Les dix premiers nombres de Kynea (suite A093069^[2]) sont

2, 7, 23, 79, 287, 1 087, 4 223, 16 639, 66 047 et 263 167.

Leurs classes de congruence modulo 7 sont

2, 0, 2, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 2

donc pour tout entier $k > 0$ , le ( $3 k +1$ )-ième nombre de Kynea n'est pas premier.

Sur les 25 premiers nombres de Kynea, seuls les 5 suivants ne sont ni premiers, ni multiples de 7 :^{[réf. souhaitée]}

$k(6)=41\times 103$ ^{[réf. souhaitée]}
$k(11)=1399\times 3001$ ^{[réf. souhaitée]}
$k(14)=15913\times 16871$ ^{[réf. souhaitée]}
$k(20)=47\times 353\times 66271697$ ^{[réf. souhaitée]}
$k(24)=23\times 41\times 71\times 353\times 11909543.$ ^{[réf. souhaitée]}

Le $n$ -ième nombre de Kynea est égal à $4 n + (2 n +1 - 1)$ , ainsi qu'à $((2 n - 1) 2 - 2) + 2 n +2$ .

Sa représentation binaire si $n \geq 1$ (suite A244663) est un 1, suivi de n – 1 zéros, suivis de n + 1 uns, puisque

4^{n}+2^{n+1}-1=2^{2n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}.

Donc, par exemple, 23 est 10111 en binaire, 79 est 1001111, etc.

Nombres de Kynea premiers

Notes et références

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