Nombre premier de Gauss
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En mathématiques et plus précisément en algèbre, un nombre premier de Gauss est l'équivalent d'un nombre premier pour l'anneau ℤ[i] des entiers de Gauss. Cette notion est utilisée en théorie algébrique des nombres.
Les nombres premiers de Gauss sont utilisés pour la résolution d'équations diophantiennes comme le théorème des deux carrés de Fermat ou pour établir des résultats théoriques comme la loi de réciprocité quadratique.
En 1801, dans son livre Disquisitiones arithmeticae, Carl Friedrich Gauss développe des arithmétiques sur d'autres anneaux que celui des entiers relatifs. Il utilise particulièrement l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps commutatif et l'anneau des « entiers » qui portent son nom. Ces anneaux sont — comme ℤ — euclidiens donc principaux et a fortiori factoriels. Une arithmétique modulaire se développe, analogue à celle de l'anneau ℤ/nℤ. Une connaissance fine de la structure nécessite la compréhension des éléments premiers de l'anneau. Elle rend opérationnel le théorème de décomposition en facteurs premiers.
Définition et exemples
Un entier de Gauss est un nombre complexe dont les parties réelle et imaginaire sont entières.
Les éléments inversibles (ou unités) de ℤ[i] sont 1, –1, i et –i (ces nombres jouent un rôle analogue à 1 et –1 dans ℤ).
Un nombre premier[1] de Gauss est un élément irréductible de ℤ[i], c'est-à-dire un entier de Gauss qui n'est pas une unité et dont les seuls diviseurs sont les unités et les produits de ce nombre par une unité.
Certains nombres premiers dans ℤ ne sont donc pas des nombres premiers de Gauss :
En revanche, 2 + i et 3 sont irréductibles. Le rôle du prochain paragraphe est de caractériser les nombres premiers de Gauss.
