Test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne

Remarque préliminaire : Si ${\displaystyle M_{q}=2^{q}-1}$ est premier, alors ${\displaystyle q}$ aussi. En effet, si ${\displaystyle d\mid q}$, alors ${\displaystyle 2^{d}-1\mid 2^{q}-1}$ car ${\displaystyle 2^{q}-1=(2^{d}-1)((2^{d})^{q/d-1}+(2^{d})^{q/d-2}+\dots +1)}$. Nous ne nous intéresserons donc qu'aux nombres de Mersenne ${\displaystyle M_{q}=2^{q}-1}$ pour ${\displaystyle q\geq 3}$ impair (le cas ${\displaystyle q=2}$ étant trivial).

La preuve qui va suivre utilise la théorie des corps finis et notamment le petit théorème de Fermat. Elle est inspirée de celle donnée dans l'ouvrage de Saux-Picard-Rannou^[6].

À partir de maintenant, que ${\displaystyle M_{q}}$ soit premier ou non, on va poser ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}=(\mathbb {Z} /M_{q}\mathbb {Z} )[T]/(T^{2}-3)}$. On écrit ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ la classe de ${\displaystyle T}$, de sorte que ${\displaystyle T^{2}=3}$. Nous avons donc agrandi l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} /M_{q}\mathbb {Z} }$ en un anneau contenant une racine carrée de 3.

On prouve tout d'abord la caractérisation suivante :

Théorème : Si ${\displaystyle q\geq 3}$ impair, alors ${\displaystyle M_{q}}$ est premier si et seulement si ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{2^{q-1}}=-1}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}}$.

Sa preuve est découpée en la condition nécessaire suivie de la condition suffisante. Elle est suivie de la preuve de la correction du test de Lucas-Lehmer, qui en découlera alors presque immédiatement.

Condition nécessaire à la primalité

On suppose que ${\displaystyle M_{q}}$ est premier.

Etude de carrés modulo ${\displaystyle M_{q}}$ :

D'une part, le nombre 3 n'est pas carré modulo ${\displaystyle M_{q}}$. En effet : comme ${\displaystyle q}$ est impair, ${\displaystyle (-1)^{q}=-1}$ donc ${\displaystyle 2^{q}=2[3]}$. Donc ${\displaystyle M_{q}=1[3]}$ est un carré donc, en écrivant ${\displaystyle p=M_{q}}$, on a ${\displaystyle ({\frac {p}{3}})=1}$ (voir le symbole de Legendre). Or, par le théorème de la réciprocité quadratique, ${\displaystyle ({\frac {3}{p}})=({\frac {p}{3}})(-1)^{{\frac {3-1}{2}}{\frac {M_{q}-1}{2}}}}$. Or, ${\displaystyle {\frac {M_{q}-1}{2}}={\frac {2^{q}-2}{2}}=2^{q-1}-1}$ est impair donc ${\displaystyle ({\frac {3}{p}})=-1}$.

On note la conséquence qui est que, si ${\displaystyle p=M_{q}}$ est premier, alors ${\displaystyle {3}^{\frac {p-1}{2}}=-1}$ d'où ${\displaystyle {\sqrt {3}}^{p-1}=-1}$.

D'autre part, le nombre 2 est carré modulo ${\displaystyle M_{q}}$. En effet : ${\displaystyle M_{q}=0[M_{q}]}$, donc ${\displaystyle 2^{q+1}=2[M_{q}]}$, et sachant que ${\displaystyle q}$ est impair, on écrit ${\displaystyle {\sqrt {2}}=2^{(q+1)/2}}$ qui est une racine de ${\displaystyle 2}$ dans ${\displaystyle \mathbb {Z} /M_{q}\mathbb {Z} }$. Une conséquence est que, quand ${\displaystyle M_{q}=p}$ est premier, on a ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{M_{q}}={\sqrt {2}}}$.

Conclusion :

Si ${\displaystyle p=M_{q}}$ est premier, alors ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}}$ est un corps donc on peut poser ${\displaystyle \rho ={\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}$ et ${\displaystyle \rho '={\frac {1-{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}$ son ${\displaystyle \mathbb {F} _{M_{q}}}$-conjugué. Alors ${\displaystyle \rho ^{2}=2+{\sqrt {3}}}$ et ${\displaystyle \rho \rho '=-1}$. Alors on est armés pour calculer ce qu'on voulait calculer : $${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{2^{q-1}}=\rho ^{2^{q}}=\rho ^{M_{q}}\rho =\rho {\frac {1}{{\sqrt {2}}^{M_{q}}}}({\sqrt {3}}^{M_{q}}+1).}$$Mais ${\displaystyle {\sqrt {3}}^{M_{q}}=-{\sqrt {3}}}$, donc ${\displaystyle (2+{\sqrt {3}})^{2^{q-1}}=\rho {\frac {1-{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}=\rho \rho '=-1}$. Cela conclut la condition nécessaire.

Condition suffisante à la primalité

Si ${\displaystyle p\mid M_{q}}$ est un facteur premier de ${\displaystyle M_{q}}$, alors ${\displaystyle p}$ divise ${\displaystyle 0}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}}$ donc n'est pas inversible donc il existe un idéal maximal de ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}}$ contenant ${\displaystyle p}$ noté ${\displaystyle m}$ (${\displaystyle m}$ existe car c'est un anneau fini). On a ${\displaystyle p\in m}$ donc ${\displaystyle p=0}$ dans ${\displaystyle k:={\mathcal {A}}_{q}/m}$ donc ${\displaystyle k}$ est un corps de caractéristique ${\displaystyle p}$ (dès qu'un nombre premier est nul dans un corps, ça veut dire que ce corps l'a pour caractéristique). On pose ${\displaystyle \alpha =2+{\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle \beta =2-{\sqrt {3}}}$. On a ${\displaystyle \alpha \beta =1}$. Or, ${\displaystyle \alpha ^{2^{q-1}}=-1\neq 1}$ car ${\displaystyle p}$ est impair car ${\displaystyle M_{q}}$ l'est. Donc l'ordre de ${\displaystyle \alpha }$ dans ${\displaystyle k^{\ast }}$ est exactement ${\displaystyle 2^{q}=M_{q}+1}$ (en effet, en mettant au carré, on voit que l'ordre est une puissance de 2, et en utilisant le fait que ${\displaystyle -1\neq 1[M_{q}]}$, ça ne peut pas être une puissance inférieure à ${\displaystyle 2^{q}}$).

On pose, dans ${\displaystyle k[X]}$, ${\displaystyle Q(X)=(X-\alpha )(X-\beta )=X^{2}-4X+1}$ qui est donc à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\hookrightarrow k}$ (cette flèche signifie l'existence d'un morphisme d'inclusion). Donc ${\displaystyle Q}$ est invariant par le morphisme de Frobenius dans ${\displaystyle k}$ donc ses racines sont permutées par celui-ci, donc ${\displaystyle \alpha ^{p}=\alpha }$ ou ${\displaystyle \beta }$. Dans le cas où ${\displaystyle \alpha ^{p}=\alpha }$, on trouve que ${\displaystyle 2^{q}\mid p-1}$ vu son ordre ce qui est contradictoire car ${\displaystyle p-1<2^{q}}$. Ainsi, ${\displaystyle \alpha ^{p}=\beta =\alpha ^{-1}}$ donc ${\displaystyle 2^{q}\mid p+1\leq 2^{q}}$ d'où l'égalité donc ${\displaystyle M_{q}}$ est premier. Cela conclut la condition suffisante.

Test de Lucas-Lehmer

Soit ${\displaystyle q\geq 3}$ impair fixé. On pose ${\displaystyle L_{0}=4\in \mathbb {Z} /M_{q}\mathbb {Z} }$ et, pour ${\displaystyle n\geq 0}$, ${\displaystyle L_{n+1}=L_{n}^{2}-2}$.

Nous allons prouver le théorème de Lucas-Lehmer : ${\displaystyle M_{q}}$ est premier si et seulement si ${\displaystyle L_{q-2}=0}$.

Comme éléments de ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{q}}$, on pose ${\displaystyle \alpha =2+{\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle \beta =2-{\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle \alpha \beta =1}$. On montre par récurrence que ${\displaystyle L_{n}=\alpha ^{2^{n}}+\alpha ^{-2^{n}}}$. ${\displaystyle n=0}$ : ${\displaystyle L_{0}=4}$ et ${\displaystyle \alpha ^{1}+\beta ^{1}=4}$. Si ${\displaystyle n\geq 0}$, si ${\displaystyle L_{n}=\alpha ^{2^{n}}+\alpha ^{-2^{n}}}$, alors ${\displaystyle L_{n+1}=\alpha ^{2^{n+1}}+\alpha ^{-2^{n+1}}+2-2}$. Donc à présent : ${\displaystyle L_{q-2}=0}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha ^{2^{q-2}}=-\alpha ^{-2^{q-2}}}$ si et seulement si ${\displaystyle \alpha ^{2^{q-1}}=-1}$ donc si et seulement si ${\displaystyle M_{q}}$ est premier.

• Great Internet Mersenne Prime Search
• Prime95
• Test de Lucas-Lehmer-Riesel (en)

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
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• Arithmétique et théorie des nombres