Série des inverses des nombres premiers

La démonstration suivante est due à Paul Erdős^[2].

On suppose par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel m tel que :

${\displaystyle \sum _{n=m+1}^{+\infty }{\frac {1}{p_{n}}}<{\frac {1}{2}}.}$

On définit ${\displaystyle N(x)}$ comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et qui ne sont divisibles que par des nombres premiers parmi les m premiers (donc parmi ${\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{m}}$). Un tel entier peut être écrit sous la forme kr² où k est un entier sans facteur carré.

Seuls les m premiers nombres premiers peuvent diviser k, et chacun est présent avec l’exposant 0 ou 1 dans la décomposition de k en facteurs premiers (k n’ayant pas de facteur carré). Il y a donc au plus 2^m choix pour k. Conjointement avec le fait qu'il y a au plus ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ valeurs possibles pour r, cela donne :

${\displaystyle N(x)\leqslant 2^{m}{\sqrt {x}}.}$

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à x et divisibles par au moins un nombre premier différent des m premiers est égal à ${\displaystyle x-N(x)}$.

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à x et divisibles par p est au plus x/p, on obtient :

${\displaystyle x-N(x)\leqslant \sum _{n=m+1}^{+\infty }{x \over p_{n}}<{x \over 2},}$

ou encore

${\displaystyle {x \over 2}<N(x)\leq 2^{m}{\sqrt {x}}.}$

Or, m étant fixé, cette inégalité est fausse pour x suffisamment grand, en particulier pour x supérieur ou égal à 2^{2m + 2}, d'où une contradiction.

En affinant cette preuve par l'absurde, on peut même la transformer en une minoration explicite des sommes partielles de la série^[3] :

${\displaystyle \sum _{n\leqslant x}{\frac {1}{n}}\leq \sum _{r=1}^{+\infty }{\frac {1}{r^{2}}}\prod _{p_{n}\leq x}\left(1+{\frac {1}{p_{n}}}\right)\leqslant 2\prod _{p_{n}\leqslant x}{\rm {e}}^{\frac {1}{p_{n}}}}$ donc

${\displaystyle \quad \sum _{p_{n}\leqslant x}{\frac {1}{p_{n}}}\geqslant \ln \left(\sum _{n\leqslant x}{\frac {1}{n}}\right)-\ln 2}$^[4],

ce qui confirme une partie^[5] de l'intuition d'Euler :

« La somme de la série des inverses des nombres premiers […] est infiniment grande ; mais infiniment moins que la somme de la série harmonique […]. De plus, la première est comme le logarithme de la seconde^[6]. »

Connaissant l'équivalent

${\displaystyle \ln \left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}\right)\sim {\frac {1}{p}}}$ quand ${\displaystyle p\to +\infty }$,

il suffit de montrer la divergence de la série de terme général ${\displaystyle \ln \left({\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}}}}}\right)}$, ou encore de son exponentielle, le produit (a posteriori infini) des ${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}}}}}>1}$. Or

${\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}}}}}&=&\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\prod _{n=1}^{k}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}}}}}&=&\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} ^{*},s>1}\prod _{n=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{n}^{-s}}}&=&\displaystyle \sup _{s>1}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-s}}}\\&{\underset {(1)}{=}}&\displaystyle \sup _{s>1}\zeta (s)&{\underset {(2)}{=}}&\displaystyle \sup _{s>1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}&=&+\infty \end{matrix}}}$

(pour les égalités (1) et (2), voir l'article « Produit eulérien »).

Prenant les logarithmes des équivalents, on en déduit à nouveau que ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{p_{n}}}\sim f(N):=\ln \ln N}$. On pourrait penser que cela implique que ${\displaystyle {\frac {1}{p_{N}}}\sim f'(N)}$ et donc que ${\displaystyle p_{N}\sim {N\ln N}}$, mais il est en fait impossible de rendre rigoureuse cette démonstration du théorème des nombres premiers^[7].