Span (théorie des catégories)

Un span est un diagramme de la forme ${\displaystyle B{\overset {f}{\leftarrow }}A{\overset {g}{\rightarrow }}C}$, c'est-à-dire deux morphismes ayant un domaine commun. Formellement, c'est un foncteur ${\displaystyle D:J\rightarrow C}$ d'une catégorie ${\displaystyle J}$ de la forme ${\displaystyle \bullet \leftarrow \bullet \rightarrow \bullet }$ dans une certaine catégorie ${\displaystyle C}$.

La colimite d'un span est une somme amalgamée.

• Si ${\displaystyle R}$ est une relation entre les ensembles ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ (c'est-à-dire un sous-ensemble de ${\displaystyle A\times B}$ ), alors ${\displaystyle A{\overset {\pi _{A}}{\leftarrow }}R{\overset {\pi _{B}}{\rightarrow }}B}$ est un span, dont les morphismes sont les projections ${\displaystyle \pi _{A}:A\times B\to A}$ et ${\displaystyle \pi _{B}:A\times B\to B}$.
• Le span trivial ${\displaystyle A{\overset {id}{\leftarrow }}A{\overset {id}{\rightarrow }}A}$
• Plus généralement, pour tout morphisme ${\displaystyle f\colon A\to B}$, il existe deux spans ${\displaystyle A{\overset {id}{\leftarrow }}A{\overset {f}{\rightarrow }}B}$ et ${\displaystyle A{\overset {f}{\leftarrow }}B{\overset {id}{\rightarrow }}B}$.
• Si ${\displaystyle M}$ est une catégorie de modèles, avec ${\displaystyle W}$ l'ensemble des équivalences faibles, alors les spans de la forme ${\displaystyle B{\overset {f}{\leftarrow }}A{\overset {g}{\rightarrow }}C}$ tels que ${\displaystyle f\in W}$, peuvent être considérés comme des morphismes généralisés (c'est-à-dire qui « inversent les équivalences faibles »). Il convient de noter que ce point de vue diffère de l'approche habituelle adoptée pour les catégories modèles.