Bicatégorie

Formellement, une bicatégorie ${\displaystyle \mathbf {B} }$ se compose de :

• objets, souvent notés ${\displaystyle a,b...}$, appelées 0-cellules ;
• morphismes, souvent notés ${\displaystyle f,g...}$, ayant chacun des objets source et cible fixes, appelés 1-cellules ;
• "morphismes entre morphismes", souvent notés ${\displaystyle \rho ,\sigma ...}$, ayant chaucun des morphismes source et cible fixes (qui doivent eux-mêmes avoir la même source et la même cible), appelés 2-cellules;

avec un peu plus de structure :

• étant donné deux objets ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, il existe une catégorie ${\displaystyle \mathbf {B} (a,b)}$ dont les objets sont les 1-cellules et les morphismes les 2-cellules. La composition de cette catégorie est appelée composition verticale;
• étant donné trois objets ${\displaystyle a,b,c}$, il existe un bifoncteur ${\displaystyle *:\mathbf {B} (b,c)\times \mathbf {B} (a,b)\to \mathbf {B} (a,c)}$ appelée composition horizontale.

La composition horizontale doit être associative à isomorphisme naturel près, i.e si ${\displaystyle f,g,h}$ sont des morphismes, alors il existe un isomorphisme naturel ${\displaystyle \alpha }$ tel que ${\displaystyle h*(g*f)=\alpha ((h*g)*f)}$. Certains axiomes de cohérence supplémentaires, similaires à ceux nécessaires pour les catégories monoïdales, doivent en outre être vérifiés : une catégorie monoïdale est en fait une bicatégorie contenant une unique 0-cellule.