Loi Gamma généralisée

La loi Gamma généralisée a deux paramètres de forme ${\displaystyle d>0}$ et ${\displaystyle p>0}$, et un paramètre d'échelle ${\displaystyle a>0}$. Pour x positif, la densité de probabilité est ^[2]

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}\mathrm {e} ^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},}$

avec ${\displaystyle \Gamma }$ désignant la fonction gamma.

La fonction de répartition est :

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}=P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);}$

où ${\displaystyle \gamma }$ désigne la fonction gamma incomplète et ${\displaystyle P}$ la fonction gamma incomplète régularisée.

La fonction quantile peut être définie en remarquant que ${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})}$ où ${\displaystyle G}$ est la fonction de répartition de la loi Gamma de paramètres ${\displaystyle \alpha =d/p}$ et ${\displaystyle \beta =1}$. La fonction quantile se déduit donc par inversion de ${\displaystyle F}$ en utilisant les diverses fonctions réciproques, soit :

${\displaystyle F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot \left[G^{-1}(q)\right]^{1/p},}$

où ${\displaystyle G^{-1}(q)}$ est la fonction quantile d'une loi gamma pour ${\displaystyle \alpha =d/p,\,\beta =1}$.

• Si ${\displaystyle d=p}$ alors la loi Gamma généralisée devient la loi de Weibull.
• Si ${\displaystyle p=1}$ alors la loi Gamma généralisée devient la loi Gamma.
• Si ${\displaystyle p=d=1}$ alors la loi Gamma généralisée devient la loi exponentielle.
• Si ${\displaystyle p=2}$ et ${\displaystyle d=2m}$ alors la loi Gamma généralisée devient la loi de Nakagami.
• Si ${\displaystyle p=2}$ et ${\displaystyle d=1}$ alors la loi Gamma généralisée devient la loi demi-normale.
• Si ${\displaystyle p=2}$ et ${\displaystyle a=2}$ alors la loi Gamma généralisée devient la Loi du χ à d degrés de liberté.

D'autres paramétrisations de cette loi sont parfois utilisées ; par exemple, en substituant α = d/p^[3]. On peut également ajouter un paramètre de position, de sorte qu'on décale le domaine de définition de x pour le faire commencer en un point différent de 0^[3]. Si on simplifie les conditions sur les signes des paramètres, en ne conservant que la positivité de α = d/p, on obtient une loi appelée distribution d'Amoroso, du nom du mathématicien et économiste italien Luigi Amoroso qui l'a décrite en 1925^[4].

Si X suit une loi Gamma généralisée, alors^[3]

${\displaystyle \mathbb {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

dont on tire l'espérance, la variance et l'asymétrie, soit respectivement^[5],[6]:

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=a{\frac {\Gamma ({\frac {d+1}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)=a^{2}{\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{p}})\Gamma ({\frac {d}{p}})-\Gamma ({\frac {d+1}{p}})^{2}}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma (d+3/p)\Gamma (d)^{2}-3\Gamma (d+2/p)\Gamma (d+1/p)\Gamma (d)+2\Gamma (d+1/p)^{3}}{(\Gamma (d+2/p)\Gamma (d)-\Gamma (d+1/p)^{2})^{3/2}}}}$

En notant GG(a,d,p) la loi Gamma généralisée de paramètres a, d, p, et pour deux réels positifs ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle \alpha }$, si ${\displaystyle X\sim GG(a,d,p)}$, alors ${\displaystyle cX\sim GG(ca,d,p)}$ et ${\displaystyle X^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)}$.

Si ${\displaystyle f_{1}}$ et ${\displaystyle f_{2}}$ sont les fonctions de densité de probabilités de deux lois Gamma généralisées, alors leur divergence de Kullback-Leibler est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,\mathrm {d} x\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma \left((d_{1}+p_{2})/p_{1}\right)}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \psi }$ désigne la fonction digamma^[7].