Support
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}}
Fonction de masse
n
(
k
)
α
(
n
)
β
(
k
)
k
!
(
α
+
β
)
(
n
)
(
n
+
α
+
β
)
(
k
)
{\displaystyle {\frac {n^{(k)}\alpha ^{(n)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(n)}(n+\alpha +\beta )^{(k)}}}}
x
(
n
)
{\displaystyle x^{(n)}}
symbole de Pochhammer croissant
Espérance
{
n
β
α
−
1
si
α
>
1
∞
sinon
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {n\beta }{\alpha -1}}&{\text{si}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}}
Loi Bêta-binomiale négative
Paramètres
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
paramètre de forme
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
paramètre de forme
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
Support
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}}
Fonction de masse
n
(
k
)
α
(
n
)
β
(
k
)
k
!
(
α
+
β
)
(
n
)
(
n
+
α
+
β
)
(
k
)
{\displaystyle {\frac {n^{(k)}\alpha ^{(n)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(n)}(n+\alpha +\beta )^{(k)}}}}
x
(
n
)
{\displaystyle x^{(n)}}
symbole de Pochhammer croissant
Espérance
{
n
β
α
−
1
si
α
>
1
∞
sinon
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {n\beta }{\alpha -1}}&{\text{si}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}}
Variance
{
n
(
α
+
n
−
1
)
β
(
α
+
β
−
1
)
(
α
−
2
)
(
α
−
1
)
2
si
α
>
2
∞
sinon
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {n(\alpha +n-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{si}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}}
Asymétrie
{
(
α
+
2
n
−
1
)
(
α
+
2
β
−
1
)
(
α
−
3
)
n
(
α
+
n
−
1
)
β
(
α
+
β
−
1
)
α
−
2
si
α
>
3
∞
sinon
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(\alpha +2n-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {n(\alpha +n-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{si}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}}
modifier
En théorie des probabilités et en statistique , la loi bêta-binomiale négative est la loi de probabilité discrète d'une variable aléatoire X égale au nombre d'échecs nécessaires pour obtenir n succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli où la probabilité p du succès est une variable aléatoire de loi bêta . La loi est alors une loi mélangée.
Cette loi a également été appelée la loi inverse Markov-Pólya et la loi de Waring généralisée [ 1] loi bêta-Pascal [ 1]
Si les paramètres de la loi bêta sont
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
X
∣
p
∼
N
B
(
n
,
p
)
,
{\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (n,p),}
où
p
∼
B
(
α
,
β
)
,
{\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}
alors la loi marginale de X est la loi bêta-binomiale négative :
X
∼
B
N
B
(
n
,
α
,
β
)
.
{\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (n,\alpha ,\beta ).}
Dans les notations ci-dessus,
N
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle \mathrm {NB} (n,p)}
loi bêta-binomiale et
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\textrm {B}}(\alpha ,\beta )}
loi bêta .
