Loi de Kesten-McKay
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En théorie des probabilités, la loi de Kesten-McKay est une loi de probabilités utilisée en théorie des graphes.
Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.
![{\displaystyle ]-2{\sqrt {d-1}},2{\sqrt {d-1}}[}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541d072f24eca87323447ad51ba0675f165546b4)
![{\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{si }}x\leqslant -2{\sqrt {d-1}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {d}{2\pi }}\left[{\scriptstyle \arcsin }\left({\frac {x}{2{\sqrt {d-1}}}}\right)-{\frac {d-2}{d}}{\scriptstyle \arctan }\left({\frac {(d-2)x}{d{\sqrt {4(d-1)-x^{2}}}}}\right)\right]&{\text{si }}|x|\leqslant 2{\sqrt {d-1}}\\1&{\text{si }}x\geqslant 2{\sqrt {d-1}}\end{cases}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74908c0c2fadcb46c3d02b8d87b38603ddd4bfb)
| Loi de Kesten-McKay | |
 Densité de probabilité | |
 Fonction de répartition | |
| Paramètres | |
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| Support | |
| Densité de probabilité | |
| Fonction de répartition | |
| Espérance | |
| Médiane | |
| Mode | |
| Asymétrie | |
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Brendan Kesten établit que pour une suite de graphes aléatoires de degré d ≥ 2 dont l'ordre n tend vers l'infini, les valeurs propres convergent simplement vers la loi de Kesten-McKay. Dans le même article, il montre que cette loi est celle que suivent les valeurs propres de tout graphe régulier étiqueté de degré d.
Définition
La fonction de densité de la loi de Kesten-McKay est :
Il s'agit d'un cas particulier de la loi de Kesten, définie par la densité :
Propriétés
Moments
La densité de la loi de Kesten-McKay est paire, donc tous les moments d'ordre impair sont nuls et ceux d'ordre pair valent :
où C(k,i) est un nombre du triangle de Catalan.
Liens avec d'autres lois
Pour d tendant vers l'infini, la loi de Kesten-McKay tend vers la loi du demi-cercle[1].
