Loi de Gompertz

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La densité de probabilité de la loi de Gompertz est donnée par ^[1] :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ f(x;b,\eta )=\eta b\mathrm {e} ^{-bx}\mathrm {e} ^{-\eta \mathrm {e} ^{-bx}}}$

où b > 0 est le paramètre d'échelle et η > 0 est le paramètre de forme.

En actuariat, biologie ou démographie, les paramètres peuvent être différents.

La fonction de répartition de la loi de Gompertz est donnée par^[1] :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ F(x;b,\eta )=\mathrm {e} ^{-\eta \mathrm {e} ^{-bx}}}$

La moyenne d'une variable aléatoire Y suivant une loi de Gompertz est donnée par :

${\displaystyle \mathbb {E} (Y)={\frac {1}{b}}\left[\ln \eta -\psi (1)\right]}$

où ψ est la fonction digamma et où ψ(1) = –0,577... = –γ est l'opposé de la constante d'Euler.

La variance d'une variable aléatoire Y suivant une loi de Gompertz est donnée par :

${\displaystyle {\textrm {Var}}(Y)={\frac {1}{b^{2}}}\psi ^{(1)}(1)}$

où ψ⁽¹⁾ est la fonction trigamma et où ψ⁽¹⁾(1) = 1,645....

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La densité de probabilité de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par ^[1] :

${\displaystyle f(x;b,\eta )={\begin{cases}b\mathrm {e} ^{-bx}\mathrm {e} ^{-\eta \mathrm {e} ^{-bx}}\left[1+\eta \left(1-\mathrm {e} ^{-bx}\right)\right]&{\text{ pour }}x\geq 0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

La fonction de répartition de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par^[1] :

${\displaystyle F(x;b,\eta )={\begin{cases}\left(1-\mathrm {e} ^{-bx}\right)\mathrm {e} ^{-\eta \mathrm {e} ^{-bx}}&{\text{ pour }}x\geq 0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

L'espérance d'une variable aléatoire Y de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par :

${\displaystyle \mathbb {E} (Y)=-{\frac {1}{b}}\left(\mathbb {E} [\ln(X)]-\ln(\eta )\right)}$

où

${\displaystyle \mathbb {E} \{\ln(X)\}=\left(1+{\frac {1}{\eta }}\right)\int _{0}^{\eta }\mathrm {e} ^{-X}\ln(X)\,\mathrm {d} X-{\frac {1}{\eta }}\int _{0}^{\eta }X\mathrm {e} ^{-X}\ln(X)\,\mathrm {d} X.}$

La variance d'une variable aléatoire Y de la loi de Gompertz avec dérive est donnée par :

${\displaystyle {\textrm {Var}}(Y)={\frac {1}{b^{2}}}\left[\mathbb {E} \{[\ln(X)]^{2}\}-(\mathbb {E} [\ln(X)])^{2}\right]}$

où

${\displaystyle \mathbb {E} \{[\ln(X)]^{2}\}=\left(1+{\frac {1}{\eta }}\right)\int _{0}^{\eta }\mathrm {e} ^{-X}[\ln(X)]^{2}\,\mathrm {d} X-{\frac {1}{\eta }}\int _{0}^{\eta }X\mathrm {e} ^{-X}[\ln(X)]^{2}\,\mathrm {d} X.}$

Le mode de la loi de Gompertz avec dérive est 0 quand 0 < η ≤ 0,5, et ${\displaystyle -{\frac {\ln(z^{\star })}{b}}}$ quand η > 0,5 avec ${\displaystyle z^{\star }={\frac {3+\eta -{\sqrt {\eta ^{2}+2\eta +5}}}{2\eta }}}$.

La loi de Gompertz avec dérive peut prendre différentes types de forme en fonction du paramètre de forme η :

• 0 <η ≤ 0,5 : la densité a son mode en 0.
• η > 0,5 : la densité a son mode en ${\displaystyle -{\frac {\ln(z^{\star })}{b}}}$ où ${\displaystyle z^{\star }={\frac {3+\eta -{\sqrt {\eta ^{2}+2\eta +5}}}{2\eta }}\in ]0,1[}$ est la plus petite racine de ${\displaystyle \eta ^{2}z^{2}-\eta (3+\eta )z+\eta +1=0}$.