Système de Johnson

En statistique, le système de Johnson est une famille de fonctions conçues pour modéliser une loi de probabilités à partir de tirages aléatoires, définie par N. L. Johnson en 1949^[1]^,^[2]. Chacun des trois sous-types est caractérisé par quatre paramètres.

Utilisation

L'idée de Johnson est de trouver le modèle le plus adapté à partir des quatre premiers moments d'un échantillon (espérance, variance, asymétrie et kurtosis), en transformant la variable aléatoire $X$ qu'on souhaite modéliser par la transformation :

Z=\gamma +\delta h\left({\frac {X-\xi }{\lambda }}\right)

où $Z$ suit la loi normale standard. Les valeurs $ξ$ et $λ > 0$ servent donc conjointement de paramètres de position et d'échelle, tandis que $γ$ caractérise l'asymétrie et $δ$ , la kurtosis.

Johnson propose trois transformations^[3]:

une transformation bornée par la fonction logit, qu'il note S_B (pour bounded) :

h(x)=\ln \left({\frac {x}{1-x}}\right)

une transformation par la fonction logarithme qu'il note S_L (pour log-normal) :

h(x)=\ln(x)

une transformation par la fonction sinus hyperbolique non bornée qu'il note S_U (pour unbounded) :

h(x)=\sinh(x)

La loi normale est parfois incluse dans le système de Johnson, notée S_N.

Distribution de Johnson

Support borné : lois S_B

Faits en bref Paramètres, Support ...

Système de Johnson



Paramètres	$\gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0$ (réel)
Support	$]\xi ,\xi +\lambda [$
Densité de probabilité	${\tfrac {\delta \lambda }{{\sqrt {2\pi }}(x-\xi )(\xi +\lambda -x)}}\exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \ln \left({\tfrac {x-\xi }{\lambda +\xi -x}}\right)\right)^{2}\right]$
Fonction de répartition	$\Phi \left(\gamma +\delta \ln \left({\tfrac {x-\xi }{\lambda +\xi -x}}\right)\right)$
Médiane	${\frac {\xi +\exp \left(-{\tfrac {\gamma }{\delta }}\right)(\lambda +\xi )}{1+\exp \left(-{\tfrac {\gamma }{\delta }}\right)}}$
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N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation^[1]:

z=\gamma +\delta \ln \left({\frac {\frac {x-\xi }{\lambda }}{1-{\frac {x-\xi }{\lambda }}}}\right)

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ .

La loi S_B de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

y=\xi +{\frac {\lambda }{1+{\rm {e}}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }}}.

On reconnait la forme d'une fonction logistique.

Version bivariée : lois S_BB

Johnson a étendu la loi S_B en une version bivariée, notée S_BB. La densité de la loi est

f(z_{1},z_{2},\rho )={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {z_{1}^{2}-2z_{1}z_{2}+z_{2}^{2}}{1-\rho ^{2}}}\right).

où $z 1$ et $z 2$ suivent chacun une loi S_B, et ${\textstyle \rho =\mathbb {E} (Z_{1}Z_{2})}$ la mesure de dépendance entre les deux variables^[4].

Support semi-infini : lois S_L

Faits en bref Paramètres, Support ...

Système de Johnson



Paramètres	$\gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0$ (réel)
Support	$]\xi ,+\infty [$
Densité de probabilité	${\tfrac {\delta \lambda }{{\sqrt {2\pi }}(x-\xi )}}\exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \ln \left({\tfrac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)^{2}\right]$
Fonction de répartition	$\Phi \left(\gamma +\delta \ln \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)$
Espérance	$\xi +\exp \left({\tfrac {1-2\gamma \delta }{2\delta ^{2}}}\right)$
Médiane	$\xi +\lambda \exp \left(-{\frac {\gamma }{\delta }}\right)$
Variance	$\exp \left({\tfrac {2(1-\gamma \delta )}{\delta ^{2}}}\right)$
Asymétrie	$\exp \left({\tfrac {3(3-\gamma \delta )}{\delta ^{2}}}\right)$
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N. L. Johnson a d'abord proposé la transformation^[1]:

z=\gamma +\delta \ln \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ .

La loi S_L de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

y=\lambda {\rm {e}}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }+\xi .

La loi S_B convient pour modéliser les lois platikurtiques.

Support infini : lois S_U

Faits en bref Paramètres, Support ...

Système de Johnson
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$\gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0$ (réel)
Support	$-\infty {\text{ vers }}+\infty$
Densité de probabilité	${\frac {\delta }{\lambda {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {1+\left({\tfrac {x-\xi }{\lambda }}\right)^{2}}}}}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \operatorname {arsinh} \left({\tfrac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)^{2}\right)$
Fonction de répartition	$\Phi \left(\gamma +\delta \operatorname {arsinh} \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)$
Espérance	$\xi -\lambda \exp \left({\tfrac {1}{2\delta ^{2}}}\right)\sinh \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)$
Médiane	$\xi +\lambda \sinh \left(-{\frac {\gamma }{\delta }}\right)$
Variance	$\mathrm {Var} (X)={\frac {\lambda ^{2}}{2}}\left[\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)-1\right]\left(\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)\cosh \left({\tfrac {2\gamma }{\delta }}\right)+1\right)$
Asymétrie	$-{\frac {\lambda ^{3}\exp({\tfrac {1}{2\delta ^{2}}})\left(\exp({\tfrac {1}{\delta ^{2}}})-1\right)^{2}\left[\exp({\tfrac {1}{\delta ^{2}}})\left(\exp({\tfrac {1}{\delta ^{2}}})+2\right)\sinh({\tfrac {3\gamma }{\delta }})+3\sinh({\tfrac {2\gamma }{\delta }})\right]}{4\mathrm {Var} (X)^{3/2}}}$
Kurtosis normalisé	${\frac {\lambda ^{4}\left(\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)-1\right)^{2}(K_{1}+K_{2}+K_{3})}{8\mathrm {Var} (X)^{2}}}$ $K_{1}=\exp \left({\tfrac {2}{\delta ^{2}}}\right)\left[\exp \left({\tfrac {4}{\delta ^{2}}}\right)+2\exp \left({\tfrac {3}{\delta ^{2}}}\right)+3\exp \left({\tfrac {2}{\delta ^{2}}}\right)-3\right]\cosh \left({\tfrac {4\gamma }{\delta }}\right)$ $K_{2}=4\exp \left({\tfrac {2}{\delta ^{2}}}\right)\left(\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)+2\right)\cosh \left({\tfrac {3\gamma }{\delta }}\right)$ $K_{3}=3\left(2\exp \left({\tfrac {1}{\delta ^{2}}}\right)+1\right)$
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Les lois S_U de Johnson se basent sur la transformation de la loi normale suivante^[1]:

z=\gamma +\delta \operatorname {arsinh} \left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)

où $z\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ .

La loi S_U de Johnson peut être générée à partir d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue U par :

y=\lambda \sinh \left(\left(z-\gamma \right)/\delta \right)+\xi .

Identification du type

Afin d'identifier le type de lois de Johnson à partir du tirage, il y a plusieurs méthodes, la plus simple étant la méthode des moments qui se base surtout sur les moments d'ordre 3 et 4. Par exemple, pour une loi S_L, ces moments valent^[5]:

\beta _{1}={\frac {\mu _{3}^{2}}{\mu _{2}^{3}}}=({\rm {e}}^{\delta ^{-2}}-1)({\rm {e}}^{\delta ^{-2}}+2)^{2},\beta _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\rm {e}}^{4\delta ^{-2}}+2{\rm {e}}^{3\delta ^{-2}}+3{\rm {e}}^{2\delta ^{-2}}-3.

Ainsi, toute loi de Johnson vérifie $\beta _{2}-\beta _{1}-1\geqslant 0$ .

D'autres moyens ont été développés, reposant sur la méthode d'adaptation des quantiles, la méthode des moindres carrés, ou des estimateurs statistiques^[3]^,^[6]^,^[7].

Génération de variables aléatoires

Pour générer des tirages aléatoires suivant une loi de Johnson, on peut méthode de la transformée inverse : soit U une variable aléatoire uniforme continue sur l'intervalle unité [0; 1]. Les lois de Johnson peuvent alors être simulées par :

X=\lambda h\left({\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)+\xi

où $Φ$ est la fonction de répartition de la loi normale, et $h$ étant la fonction liée à la famille de lois voulue ( $ln (x /(1 - x))$ pour une loi S_B, $ln (x)$ pour une loi S_L, $sinh (x)$ pour une loi S_B).

Applications

Les lois S_U de Johnson ont été utilisées pour modéliser des rendements des actifs pour la gestion de portefeuille^[8], mais aussi la tarification d'options, et estimer un sourire de volatilité (en) ; voir arbre binomial de Johnson.

Une alternative au système de Johnson est le système de lois paramétrées par les quantiles (quantile-parameterized distributions), plus souple pour l'adaptation de forme. Au lieu d'adapter les paramètres aux moments, le système de lois paramétrées par les quantiles vise à adapter la fonction de densité par moindres carrés.

Système de Johnson

Utilisation