Loi de Davis

La densité de probabilité de la loi de Davis est donnée par

${\displaystyle f(x;\mu ,b,n)={\begin{cases}{\frac {b^{n}}{\Gamma (n)\zeta (n)}}{\frac {(x-\mu )^{-1-n}}{\exp \left({\frac {b}{x-\mu }}\right)-1}}&{\text{si}}\ n>3\\0&{\text{sinon.}}\ \end{cases}}}$

où Γ est la fonction gamma et ζ est la fonction zêta de Riemann. Ici μ, b et n sont les paramètres de la loi, n étant un entier.

La variance de la loi de Davis est :

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)={\begin{cases}{\frac {b^{2}\left(-(n-2){\zeta (n-1)}^{2}+(n-1)\zeta (n-2)\zeta (n)\right)}{(n-2){(n-1)}^{2}{\zeta (n)}^{2}}}&{\text{si}}\ n>3\\{\text{indéterminé}}&{\text{sinon.}}\ \end{cases}}}$

Afin de pouvoir donner une expression qui représente plus précisément la traine de la loi des revenus, Davis utilisa un modèle approprié avec les propriétés suivantes^[2] :

• il existe ${\displaystyle \mu >0\,}$ tel que, ${\displaystyle f(\mu )=0}$,
• il y a un modèle de revenus,
• pour x grand, la densité se comporte comme la distribution de Pareto :

${\displaystyle f(x)\sim A{(x-\mu )}^{-\alpha -1}\,.}$

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Davis} (b=1,n=4,\mu =0)\,}$ alors ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \mathrm {Planck} }$ (loi de Planck)