Loi bêta-binomiale

Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire qui compte le nombre de succès de ${\displaystyle n}$ épreuves de Bernoulli, chacune ayant une probabilité de succès ${\displaystyle p}$. La variable ${\displaystyle X}$ suit donc une loi binomiale dont la fonction de masse est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X=k|p)&=\operatorname {Bin} (n,p)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\end{aligned}}}$.

Ici, la probabilité de succès ${\displaystyle p}$ est également une variable aléatoire, qui suit une loi bêta de paramètres α et β. Sa fonction de densité est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(p|\alpha ,\beta )=\operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )={\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}\end{aligned}}}$

La loi bêta-binomiale s'obtient en considérant le couple ${\displaystyle (X,p)}$ comme une nouvelle variable aléatoire puis en calculant la densité marginale de ${\displaystyle X}$ (cette densité marginale est une fonction de masse, puisque ${\displaystyle X}$ est une variable aléatoire suivant une loi discrète).

Par définition, la densité marginale de ${\displaystyle X}$ s'obtient en intégrant la densité conjointe de ${\displaystyle (X,p)}$ sur l'espace de probabilité occupé par ${\displaystyle p}$. Ainsi, leur densité conjointe peut être décomposée, telle que :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X=k,p)=f(X=k|p)\cdot f(p|\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

En intégrant cette densité conjointe selon ${\displaystyle p}$ sur ${\displaystyle [0,1]}$ (l'espace sur lequel est définie la densité de la loi bêta), il advient finalement :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X=k|\alpha ,\beta )&=\int _{0}^{1}f(X=k,p)\mathrm {d} p\\&=\int _{0}^{1}f(X=k|p)\cdot f(p)\mathrm {d} p\\&={n \choose k}{\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\int _{0}^{1}p^{k+\alpha -1}(1-p)^{n-k+\beta -1}\,\mathrm {d} p\\&={n \choose k}{\frac {\mathrm {B} (k+\alpha ,n-k+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}}$

En remplaçant la fonction bêta par sa définition ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ où Γ est la fonction gamma, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X=k|\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (n-k+1)}}{\frac {\Gamma (\alpha +k)\Gamma (n+\beta -k)}{\Gamma (\alpha +\beta +n)}}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\end{aligned}}}$

Dans ce contexte, la loi bêta-binomiale apparaît souvent en inférence bayésienne : la loi bêta-binomiale est la loi prédictive d'une variable aléatoire binomiale avec une probabilité de succès donnée par une loi bêta.

La loi bêta-binomiale peut également être représentée par un modèle d'urnes, pour des paramètres α et β entiers positifs. Plus précisément, on considère une urne contenant α boules rouges et β boules noires, on effectue alors des tirages aléatoires. Si une boule rouge est tirée, alors deux boules rouges sont replacées dans l'urne (elle-même plus une autre). De la même manière, si une boule noire est tirée, elle est remise avec une autre boule noire dans l'urne. Si on répète cette opération n fois, alors la probabilité de tirer k boules rouges suit une loi bêta-binomiale de paramètres n, α et β.

Il est à noter que si après les tirages on replace une unique boule, alors la loi est binomiale, et si les tirages sont effectués sans remise, alors la loi est hypergéométrique.

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Les trois premiers moments sont

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}\\\mu _{2}&={\frac {n\alpha [n(1+\alpha )+\beta ]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )}}\\\mu _{3}&={\frac {n\alpha [n^{2}(1+\alpha )(2+\alpha )+3n(1+\alpha )\beta +\beta (\beta -\alpha )]}{(\alpha +\beta )(1+\alpha +\beta )(2+\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}$

et le kurtosis est

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{2}&={\frac {(\alpha +\beta )^{2}(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}}\\&\times \left[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^{2}-{\frac {3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }}-{\frac {18\alpha \beta n^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right].\end{aligned}}}$

Si on pose ${\textstyle \mathrm {p} ={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$, on remarque que la moyenne peut être écrite sous la forme ${\textstyle \mu ={\frac {n\alpha }{\alpha +\beta }}=n\mathrm {p} }$ et la variance par

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n\alpha \beta (\alpha +\beta +n)}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}=n\pi (1-\pi ){\frac {\alpha +\beta +n}{\alpha +\beta +1}}=n\mathrm {p} (1-\mathrm {p} )[1+(n-1)\rho ]}$

où ${\textstyle \rho ={\frac {1}{\alpha +\beta +1}}}$ est la corrélation deux à deux entre les n tirages de Bernoulli et est appelé le paramètre de surdispersion.