Loi hypo-exponentielle

La loi hypo-exponentielle définie comme la loi de la somme de n variables aléatoires ${\textstyle X_{i},\,i=1,\dots ,n}$ de loi exponentielle indépendantes de paramètres respectifs : ${\textstyle \lambda _{i},\,i=1,\dots ,n}$ :

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ avec ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {E}}(\lambda _{i})}$.

Le coefficient de variation minimum de la loi hypo-exponentielle est ${\displaystyle 1/n}$.

Dans le cas où les paramètres ${\textstyle \lambda _{i}}$ sont tous distincts, la densité de probabilité de la loi hypo-exponentielle se calcule par récurrence^[2] pour obtenir la formule :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\lambda _{i}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon }}\end{cases}}}$

La fonction de répartition de la loi hypo-exponentielle est donnée par^[2] :

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle 1-\sum _{i=1}^{n}\prod _{j\neq i}{\frac {\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}x}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon }}\end{cases}}}$

avec le même critère pour le paramètres ${\textstyle \lambda _{i}\;:\;\lambda _{i}\neq \lambda _{j},{\text{ si }}i\neq j}$.

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