Loi normale rectifiée

La densité de probabilité d'une loi normale rectifiée est donnée par

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).}$

Ici, ${\displaystyle \Phi }$ est la fonction de répartition de la loi normale :

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-t^{2}/2}\,\mathrm {d} t\quad x\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \delta }$ est la distribution de Dirac :

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

et, ${\displaystyle {\textrm {U}}}$ est la fonction de Heaviside:

${\displaystyle {\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}}$

Une alternative simple est de considérer le cas où

${\displaystyle S\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),X=\max(0,S),}$

alors,

${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

• (en) Maxime Beauchamp, « On numerical computation for the distribution of the convolution of N independent rectified Gaussian variables », Journal de la Société Française de Statistique, vol. 159, n^o 1,‎ 2018 (lire en ligne)

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