タウ数

タウ数は無限に存在し、複数の方法でタウ数の無限列 (または無限集合) を得ることができる：

• 素数 p に対して p^p-1となる数 (2, 9, 625, 117649, ... (A036878))
• n の素因数分解を ${\displaystyle p_{1}^{m_{1}}\cdots p_{k}^{m_{k}}}$としたとき、${\displaystyle p_{1}^{p_{1}^{m_{1}}-1}\cdots p_{k}^{p_{k}^{m_{k}}-1}}$で表される数 (1, 2, 9, 8, 625, 18, 117649, 128, ... (A036879))
• 任意の奇素数 p に対して 8p (24, 40, 56, 88, 104, ...)
• 任意の相異なる3より大きい素数 p, q に対して 36 pq (1260, 1980, 2340, 2772, ...)

奇数のタウ数は全て平方数である。そのような数を小さい順に並べると

となる。

任意の連続した3つの整数がすべてタウ数となることはない。これはコルトンによって予想され、ゼリンスキーによってより強い形の命題が証明された。

• もし n および n+1 がいずれもタウ数かつ n が奇数であるならば、n=1 が成り立つ。

正整数 n に対して、n 以下のタウ数の個数を T(n) で表す。このとき、T(n) と素数計数関数 π(n) の間に以下の関係が成り立つ：

• 任意の実数 (正実数としてよい) k に対して、n が十分大きいならば T(n) > kπ(n) が成り立つ^[3]。

ゼリンスキーによって証明されたこの定理は、コルトンが k = ¹/₂ について予想したものについて、部分的に証明したものである。ゼリンスキーは k = ¹/₂ の場合について、反例の上限が 7.42×10¹³となることも示している。

クラウディア・スピロは T(n) に対して、漸近的な近似値として$${\displaystyle T(n)={\frac {n}{{\sqrt {\log {n}}}(\log {\log {n}})^{1+o(1)}}}}$$を与えた^[1]。ただしここで o(1) はo記法である。すなわち、ある関数 ε(n) が存在して$${\displaystyle T(n)={\frac {n}{{\sqrt {\log {n}}}(\log {\log {n}})^{1+\varepsilon (n)}}}}$$であり、ε(n) は任意の正定数 K について、十分大きい n に対して | ε(n) | < K が成り立つ。

• 全ての完全数はタウ数とならない^[2]。

• ゴールドバッハ予想に関連して、次の事実が言える：
  • 弱いゴールドバッハ予想が真ならば、任意の正整数は6個かそれ以下のタウ数の和として表せる。
  • 強いゴールドバッハ予想が真ならば、任意の正整数は5個かそれ以下のタウ数の和として表せる。
• タウ数の自然密度（英語版）は0である^[4]。

• en:HR (software)

1. 1 2 Spiro, Claudia (1985-08-01). “How often is the number of divisors of n a divisor of n?” (英語). Journal of Number Theory 21 (1): 81–100. doi:10.1016/0022-314X(85)90012-5. ISSN 0022-314X. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022314X85900125. 
2. 1 2 Simon Colton (1999). “Refactorable Numbers - A Machine Invention”. Journal of Integer Sequences 2. https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/colton/joisol.html 2022年1月20日閲覧。. 
3. 1 2 3 Joshua Zelinsky (2002). “Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results”. Journal of Integer Sequences 5 (2). https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL5/Zelinsky/zelinsky9.html 2022年1月20日閲覧。. 
4. ↑ Kennedy, Robert E.; Cooper, Curtis N. (1990). “Tau numbers, natural density, and Hardy and Wright's theorem 437” (英語). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 13 (2): 383–386. doi:10.1155/S0161171290000576. ISSN 0161-1712. https://www.hindawi.com/journals/ijmms/1990/717323/. 

表 話 編 歴 被整除性に基づいた整数の集合
概要	素因数分解 約数 単約数 約数関数 素因数 算術の基本定理
因数分解による分類	素数 合成数 半素数 矩形数 楔数 平方因子をもたない整数 多冪数 累乗数 アキレス数 滑らかな数（英語版） ハミング数（英語版） 粗い数（英語版） 異常数（英語版）
約数和による分類	完全数 概完全数 準完全数 倍積完全数 Hemiperfect number（英語版） ハイパー完全数 超完全数 単完全数（英語版） 擬似完全数 プラクティカル数 エルデシュ・ニコラス数（英語版）
約数が多いもの	過剰数 原始過剰数（英語版） 高度過剰数 超過剰数 巨大過剰数 高度合成数 優高度合成数（英語版） 不思議数
アリコット数列関連	アンタッチャブル数（英語版） 友愛数 (友愛三数（英語版）) 社交数 婚約数
位取り記法に基づくもの	Equidigital number（英語版） Extravagant number（英語版） Frugal number（英語版） ハーシャッド数 Polydivisible number（英語版） スミス数
その他	Arithmetic number（英語版） 不足数 Friendly number（英語版） Solitary（英語版） サブライム数 調和数 デカルト数（英語版） タウ数 超完全数