ロワの恒等式

ロワの恒等式は、個々の消費者および個々の財 (${\displaystyle i}$) についての需要関数を得るためにシェパードの補題を書き直したものである。

まず、間接効用関数 ${\displaystyle v(p,w)}$ の変数である富ないし所得 ${\displaystyle w}$ に、支出関数を代入して得られる、下記のあたりまえの恒等式について考える。ここで効用は ${\displaystyle u}$ で表している：

${\displaystyle v(p,e(p,u))=u}$

この等式は、価格の一覧（価格ベクトル ${\displaystyle p}$）と、その価格の下で効用 ${\displaystyle u}$ を得るために必要な最小限の支出 ${\displaystyle e(p,u)}$ に対して、得られる効用（間接効用関数の返り値）は ${\displaystyle u}$ である、という意味である。

（効用の水準を一定に保ったまま）等式の両辺をある単一の財の価格 ${\displaystyle p_{i}}$ で偏微分すると

${\displaystyle {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}{\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}=0}$

となる。これを変形すると

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v[p,e(p,u)]}{\partial w}}}={\frac {\partial e(p,u)}{\partial p_{i}}}=h_{i}(p,u)=x_{i}(p,e(p,u))}$

最後から2番目の等号はシェパードの補題から従い、最後の等号はヒックス需要関数の基本的な性質から従う。

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ロワの恒等式にはより簡潔な証明がある^[2]。単純化のため、財が2種類の場合について述べる。

間接効用関数 ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ は、次のラグランジュの関数

${\displaystyle {\mathcal {L}}=u(x_{1},x_{2})+\lambda (w-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2})}$

で特徴づけられるような、制約条件付き最大化問題の目的関数なのだから、包絡線定理より、目的関数 ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ のそれぞれのパラメータに関する偏導関数は

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}=-\lambda x_{1}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial w}}=\lambda }$

のように計算できる。この ${\displaystyle x_{1}^{m}}$ が最大値を与える解（つまり、財1についてのマーシャル型需要関数の値）である。これより、簡単な計算でロワの恒等式

${\displaystyle -{\frac {\frac {\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac {\partial v}{\partial w}}}=-{\frac {-\lambda x_{1}^{m}}{\lambda }}=x_{1}^{m}}$

が得られる。